Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Интерпретация позитронов как электронов с отрицательной энергией, движущихся в обратном направлении в пространстве-времени, составляет основу теории позитронов Штюкельберга — Фейнмана [52—54]. Мы будем часто пользоваться этой теорией в последующих главах для построения теории рассеяния.
В заключение обратим внимание на то, что выбранный нами вид взаимодействия электронов с электромагнитным полем был продиктован опытом, накопленным нами в классической электродинамике и в нерелятивистской электродинамике электронов. С другой стороны, существование рассмотренных нами принципов симметрии зависит от вида взаимодействия. Например, введенное в задачах к гл. 4 взаимодействие аномального магнитного момента протонов и нейтронов добавляет в уравнение Дирака член вида Его присутствие не влияет ни на
одну из рассмотренных симметрий. Распространяя дираковскую теорию на другие частицы со спином 7г> такие как ц-мезон и нуклоны, весьма естественно предположить, что инвариантность относительно преобразований $, С и Р справедлива и для них.
Большая заслуга Ли и Янга [55] состоит в осознании того, что это и в самом деле всего лишь предположение, которое надо проверять на опыте. Они высказали гипотезу, что во взаимодействиях типа p-распада нарушается инвариантность Р и С. Однако инвариантность относительно операции $СР обеспечивается гораздо более слабыми предположениями об инвариантности относительно собственных преобразований Лоренца и правильной связи спина со статистикой.
ЗАДАЧИ
1. В борновском приближении покажите, что скорость радиационного перехода электрона из основного состояния атома водорода в незаполненные состояния с отрицательной энергией, лежащие в интервале от —тсг до
—2тс2, составляет приблизительно 2а*mc2/nh « 10е сек~1.
2. Разрешите парадокс Клейна, изложенной в гд. 3, с помощью теории Дырок.
80
ТЕОРИЯ ДЫРОК
[ГЛ. 5
3. Покажите, что если Yy, и у^ являются двумя представлениями матриц у, связанными между собой унитарным преобразованием Yy. = U\u.U-1, то
с' = (иг)~х си, где С и С' есть соответствующие матрицы зарядового сопряжения. Справедливы ли для С' соотношения (5.6)?
Аналогичным образом устраните зависимость преобразования (5.15) от конкретного представления матриц у.
4. Для того чтобы оператор $ был оператором симметрии в дираковской теории, правила интерпретации волновых функций г|/((') и г|)(/) должны быть одними и теми же. Это означает, что наблюдаемые величины, построенные из билинейных форм, составленных из т|/ и ф/+, должны иметь тот же самый смысл, что и наблюдаемые, построенные из ф (иногда имеется различие в знаке).
а) Проверьте это утверждение для тока
С (х') = р(х)
И для
<Г>'= (г), <р')=_<р).
б) Повторите эти выкладки для зарядового сопряжения С. В частности, покажите, что
Фс (*) Yntc М = + 'Ф (*) Ynt (х), и объясните это равенство, исходя из теории дырок.
ГЛАВА 6
МЕТОД ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
§ 20. Введение
Мы переходим к общему рассмотрению процессов рассеяния. Наша цель — иметь возможность вычислять, в принципе точно, вероятности переходов и сечения в дираковской теории электронов и позитронов; на практике вычисления обычно проводятся в низших порядках по параметрам взаимодействия. Возможность изменения числа частиц в таких процессах, как рождение электрон-позитронных пар или аннигиляция, выводит нас за рамки применимости нерелятивистской теории. Тем не менее мы будем как можно дольше откладывать решение грандиозной задачи построения формализма квантовой теории поля для описания процессов рождения и аннигиляции.
С этой целью мы, следуя Фейнману [53, 54], воспользуемся методом функции распространения (пропагатора). В этом методе процесс рассеяния описывается интегральными уравнениями. Граничные условия, которым удовлетворяют их решения, включают в себя согласно Штюкельбергу — Фейнману интерпретацию позитронов как электронов с отрицательной энергией, движущихся назад во времени. Такой подход позволяет сформулировать однозначные правила для расчета любого физического процесса '). Начнем с напоминания о методе функции распространения для нерелятивистского уравнения Шредингера.
§ 21. Нерелятивистский пропагатор
В задачах рассеяния наше внимание больше сосредоточено на нестационарных решениях, которые развиваются во времени из заданных в отдаленный момент начальных значений, чем на стационарных решениях, т. е. плоских волнах. Характерная постановка задачи такова: по заданному в отдаленный начальный момент времени волновому пакету, описывающему
') Теоретико-полевое обоснование этих правил содержится в [50].
82
МЕТОД ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
[ГЛ. 6
приближающуюся к источнику потенциала частицу, определить, как будет выглядеть волна в далеком будущем.
При рассмотрении процессов рассеяния удобно пользоваться принципом Гюйгенса. Если волновая функция гр(х, t) известна в некоторый определенный момент времени t, то в любой более поздний момент времени t' ее можно найти, считая, что в момент t каждая точка х является источником сферических волн. Амплитуда волны, пришедшей в точку х' в момент времени V из точки х, будет пропорциональна исходной амплитуде гр(х, t). Если обозначить коэффициент пропорциональности посредством iG(x',t'\x,i), то согласно принципу Гюйгенса в точку х' в момент времени f придет волна ')
