Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ТЕОРЕМЫ О ВЫЧИСЛЕНИИ СЛЕДОВ
109
Действуя далее аналогичным образом, получим
Spd, • •• d„ = 2a, • a2Sp<S3 • • • йп— ... + 2a, • a„Spd2 ••• йп_,—
— Sp й2 • • • йпйх.
Наконец, воспользовавшись свойством цикличности следа, мы вновь переставим ах влево относительно других матриц у, тем самым теорема доказана.
Эта теорема в особенности полезна для упрощения сложного следа, хотя при п > 6 следует, если это возможно, прибегать к более изощренным приемам, чтобы избежать лавинообразного роста числа членов.
Теорема 4.
SPy5 = 0,
SpY5flS = 0, (7.18)
Sp Ysabed — 4ieapy6aab6cvd&,
где eapYfi==4-l, если перестановка (a, p, y> б) получается из (0, 1, 2, 3) в результате четного числа транспозиций, eapYfi = — 1, если число транспозиций нечетно; еару6 = 0, если среди индексов имеются совпадающие.
Доказательство. Первые два равенства немедленно следуют из того, что Y5 = i'yVy2Y3- Для получения третьего надо рассмотреть отдельные компоненты. Чтобы данный член вносил ненулевой вклад, все компоненты векторов а, b, с, d должны быть различны, а полный вклад представляет собой сумму по различным комбинациям компонент, причем знак каждого из слагаемых определяется знаком перестановки. Общий знак задается из
SP Y5YoYiY2Y3a0&'А*3 = ieoma°b[c2d3 Sp y| = 4ieoma°b'c2d3.
Теорема 5 ')•
YnY^ — 4,
YndY“ = — 2 d,
УрйЬу* = 4a ¦ b, (7.19)
y^bcy* = — 2cbd, y^abedy^ — 2 [dabc + cbdd].
Теорема 6.
Sp dxd2 • • • d2n = Sp a2n • • • aj. (7.20)
*) Хотя соотношения 5 не относятся непосредственно к следам, но ими приходится пользоваться в тех же расчетах, где необходимо вычислять следы. Поэтому мы для удобства их здесь приводим. Их доказательство предлагается в качестве полезного упражнения
110 ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. 7
Доказательство. При рассмотрении зарядового сопряжения в гл. 5 было показано, что существует матрица С, обладающая
__j j»
свойством Су^С = — Уц- Далее
Sp ах ¦ ¦ ¦ d2n = Sp СйхС~1Са2С~х ¦ • • Са2пС~х =
= (— I)2" Sp &[йт2 • • ¦ ат:п = Sp [а2п ¦ ¦ ¦ &{\г = Sp а2п • • • й{.
Возвращаясь к задаче о кулоновском рассеянии и используя теорему 1, получаем из (7.14)
ж = -fiff fsP + m2 SP (v0)2]-
Применяя теоремы 3 и 2, находим окончательное выражение для дифференциального сечения рассеяния
-ЙН -^r(*EiEf-4pi-pf+4m2). (7.21)
Можно выразить дифференциальное сечение через энергию рассеиваемой частицы Е = Ei — Ej и угол рассеяния 0. Для этого воспользуемся кинематическими соотношениями
Pi ¦ pf = Е2 — р2 cos 0 = m2 + 2f32?2 sin2 y
и
1 q I2 = 4p2sin2-|-.
Тогда
АЁ- = -------I?2---(i — B2 sin2 —1 (7 22)
dQ 4p2P2 sin4 (0/2) V. P ЬШ 2 )•
Это так называемое сечение Мотта [57]; оно переходит в резер-фордовское при ?->-0.
§ 26. Кулоновское рассеяние позитронов
Переходя к рассмотрению рассеяния позитронов в кулоновском поле, мы прежде всего заметим, что в низшем порядке по а сечение рассеяния такое же, как для электронов. В этом проще всего убедиться, записав матричный элемент. Из формулы (6.56) и сопровождающих ее пояснений следует
Sfi = ie ^ d4x ij)f (я) А (я) 'И”1 (я). (7.23)
Здесь начальное состояние относится к будущему и должно интерпретироваться как электрон с отрицательной энергией и
4-импульсом —Pf, движущийся назад во времеии (см. рис. 7.1).
§ 261
КУЛОНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ ПОЗИТРОНОВ
111
В низшем порядке в качестве волновой функции подставляем плоскую волну:
I (*) = д/-Щ v (pf, Sf) е+,рГх.
(7.24)
Аналогично конечное состояние в (7.23) представляет собой электрон с отрицательной энергией, распространяющийся в прошлое. Его волновая функция есть
+ lPi-x
(7.25)
Она описывает налетающий позитрон, который до рассеяния имеет импульс р, и поляризацию Sj. Подставляя (7.24) и (7.25) в выражение для S-матрицы, имеем
S» = -
iZe2 4я V
Pf> sf
Полученное выражение аналогично (7.4).
Вследствие инвариантности относительно зарядового сопряжения можно в том же порядке по е вместо (7.23) записать
Sfi = + /<? jj d4x $С1 (x) /h|)cf (x) = — /<? jj d4x (x) C_l/fC4j)f (x) ==
= + ie^d4x^f(x)A\lpl{x),
что приводит к прежнему результату. При таком описании позитрон распространяется вперед во времени и ^ (х) = СуЧ1^ (*)
есть волновая функция начального позитрона.
Повторяя вычисления, посредством которых была получена формула (7.12), находим выражение для дифференциального сечения
