Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, для описания рассеяния позитрона «падающая» волна с положительной частотой в (6.56) и (6.58) должна быть заменена решением с отрицательной частотой и квантовыми числами (р'+, s^, е = —1). Оно отвечает испускаемому позитрону с импульсом и спином (р^, s+y
ЗАДАЧИ
1. Покажите, что в нерелятивистском пределе SF(x',x) сводится к шре-дингеровскому запаздывающему пропагатору для свободной частицы.
2. Непосредственной проверкой убедитесь в справедливости (6.48).
3. Проверьте равенства (6.49) и (6.50) и получите аналогичные формулы для сопряженных спиноров и ij^-\
4. Получите явное выражение для S*¦(*). Выясните поведение этой функции при х ->¦ оо, х -*¦ 0 и на световом конусе.
5. Пусть в нашем формализме вакуум заменяется на ферми-газ ферми-евским импульсом kF- Как при этом изменится фейнмановский пропагатор? Найдите изменение SF в пределе малой плотности.
ГЛАВА 7
приложение теории к описанию
ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
§ 24. Рассеяние электронов в кулоновском поле
В этой главе мы используем метод функции распространения для проведения различных практических вычислений. Когда у нас накопится достаточный опыт работы с амплитудами распространения, мы путем естественного и правдоподобного обобщения перейдем к амплитудам, описывающим взаимодействие между несколькими частицами. Наш план изложения такой же, как в оригинальных работах Фейнмана [53]: сначала будут получены правила для нахождения вероятностей перехода и сечений основных процессов, представляющих физический интерес, а затем мы обратимся к некоторым формальным операциям квантовой теории поля.
Мы начнем с задачи о рассеянии электрона в заданном кулоновском поле. Матричный элемент перехода, отвечающий этому процессу, дается выражением (6.56):
здесь е < 0 — заряд электрона. Мы должны привести Sfi к более конкретному и явному виду. В низшем порядке ЧМ*) сводится к падающей плоской волне г[),(*)> описывающей электрон с импульсом Pi и спином s,:
где функция г|>(х) нормирована на единичную вероятность в ящике объемом V. Аналогично
Sfi = — ie d*x (*) A (*) 'F, (*), / ф /; (7.1)
(7.2)
(7.3)
§ 24) РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ 1 05
Кулоновский потенциал точечного заряда —Ze > 0 задается выражением
л»М'"4^ТТр AW = 0'
Таким образом,
sf‘- = т л/ш й (Ph Sf) Y°и (р‘’Si) \ Йт е‘ {PrPl)'x-
Интегрирование по времени дает 2яб (?/ — ?;), что выражает равенство энергий начального и конечного состояний в статическом потенциале. Интеграл по пространственным координатам есть хорошо известное фурье-преобразование кулоновского потенциала
С d3x с- ?п.х — 4л
J 1*1 f q I2 ’
где q = р/ — рг. Наш матричный элемент принимает вид
S„ = lZe!~(r
(7-5)
Число конечных состояний в интервале импульсов d3pt есть V d3pf/ (2л)3, и, таким образом, отнесенная к одной частице вероятность перехода в эти состояния равна
„ V d3pf
| О 12_____•_]_ _
1 ^ 1 (2л)3
Z2 (4ла)2 т2 I й (р,, sf) \°и Ip,, sA I2 d3pf “ EiV — I ^ <*f - № (7-6)
Квадрат S-функции требует некоторых пояснений. Если бы мы рассматривали переходы, происходящие в течение заданного промежутка времени (—Т/2, Т/2), то S-функция по энергии оказалась бы размазанной; это означает, что
Г/2
2я6 (Ef-Et)=$ J dt е< (Ef~Bt) 1 = 2—'е1-е~ Et) ' (7J)
-Г/2
Из (7.7) видно, что для большого, но конечного Т
sin2 (Г/2) (Е, - ЕЛ [2я6 (Е, - Et)f ф 4--------1’ ¦
Если последнее выражение рассматривать как функцию Еи то площадь под кривой, изображающей эту функцию, равна 2яТ; поэтому можно отождествить
[2я6 (Ef - ?,)]2 = [2л6 (0)] 2яб (Ef - Et) = 2пТЬ (Ef - Е{). (7.8)
106 ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. 7
Или, еще проще •),
2я6 (0) = Т. (7.9)
Эвристически этот результат можно получить прямо из определения
Г/2
(Г^ 001 -Г/2
Г/2
2n6{Ef — Ei) = \ *e'(?r?i)'.
(Т^оо) J
Следовательно,
2яб (0) = [ dt = T.
(Г->00) J
' -Г/2
Возвращаясь к (7.6) и деля обе части этого равенства на время, получаем, что число переходов R за единицу времени в интервал импульсов d3Pf равно
4Z2a2m2 | й <pf, sA v°u (p., s.) I2 d3p,
