Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
иа )е+
= 2^°|Г ¦ Yj \v(pt, si)y°v(pf, sf)\2.
± Sf. st
(7.26)
Сумму по спинам, как и прежде, можно привести к следу, используя следующее соотношение для позитронных спиноров (см. (3.9)):
Pi, ^
Рис. 7.1. Кулоновское рассеяние позитронов.
112 ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ [ГЛ. J
Таким образом,
(ж)е+ = 2T1TF SP Y° (Pi ~ т) Y° (Pf - m),
что совпадает с (7.14) с точностью до замены т на —т.
Поскольку полученное нами выражение для сечения рассеяния электронов было четным по т, мы убеждаемся в том, что в низшем порядке по а сечения рассеяния для позитронов и электронов равны друг другу. Мы могли получить этот результат из инвариантности относительно зарядового сопряжения. В гл. 5 было показано, что каждому решению для электрона в потенциале Лц отвечает решение для позитрона в потенциале —Лц, т. е. рассеяние электрона в потенциале —е/Anr есть то же самое, что рассеяние позитрона в потенциале +е/4лг; однако, поскольку вычисленное сечение зависит только от е4, знак А» не играет роли.
Для поправок порядка е6, которые возникают как произведение амплитуд первого и второго порядка, изображенных на рис. 7.2, это заключение несправедливо. Такие поправки имеют разные знаки для электронов и позитронов.
Рис. 7.2. Кулоновское рассеяние электронов.
Нетрудно также заметить, что сечение для позитронов получается из сечения для электронов путем замены pi —pf\ это общее свойство теории позитронов, именуемое «правилом подстановки» («substitution rule»). Оно тесно связано с методом функции распространения. Примеры применения этого правила еще не раз встретятся нам в дальнейшем.
§ 27. Рассеяние электрона на дираковском протоне
Рассмотрим теперь рассеяние электрона не в фиксированном кулоновском поле, а на протоне (пока мы будем считать протон бесструктурной дираковской частицей). Как изменится полученный нами результат!1
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА ДИРАКОВСКОМ ПРОТОНЕ
ИЗ
Зная протонный ток /и(л:), можно с помощью уравнений Максвелла найти создаваемое им поле. Амплитуда рассеяния электрона в этом поле дается S-матрицей (7.1). Повторив предыдущие рассуждения, мы получим скорость перехода и сечение рассеяния в низшем порядке по а.
Итак, сначала найдем создаваемое протоном электромагнитное поле. Потенциал определяется из уравнения
? Ли (х) = Г (х), (7.27)
где для удобства мы выбрали лоренцеву калибровку. Чтобы проинтегрировать это уравнение и найти А» (х), мы, как и для случая электрона, вводим функцию Грина, или пропагатор. Пропагатор Df(x — у) определяется уравнением
UDF{x-y) = V{x-y). (7.28)
Его фурье-преобразование имеет вид
Df(x- у) e-iq-{x~y)DF{q2),
где DF (q2) = — \/q2 для q2 ф 0.
Как и для фермионов, необходимо задать поведение в полюсе при q2 — 0. По аналогии с дираковским пропагатором, рассмотренным в гл. 6, мы добавляем к q2 бесконечно малую положительную мнимую часть; это эквивалентно введению малой отрицательной мнимой массы (см. (6.46)):
(7.29)
Такой способ обращения с полюсной особенностью означает выделение излучения с положительной частотой или энергией, распространяющегося вперед во времени. Когда мы рассматриваем рассеяние излучения веществом, например, преломление света при прохождении пузырьковой камеры, мы должны позаботиться о том, чтобы волны с положительной частотой, отвечающие квантам с положительной энергией, испускались без отрицательно-частотного сопровождения. Соответствующий фейнма-новский пропагатор задается формулой
<7-30>
а определяемый из (7.27) потенциал имеет вид
(х) = ^ d'y Dp (х — у) (у).
(7.31)
114
ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. 7
Подстановка этого выражения вместе с решениями в виде плоских волн для электронов в элемент S-матрицы (7.1) дает
S,i = — i ^ d\ dAy (*) (*)] DF (x — y) F (y). (7.32)
Теперь мы должны решить, какое выражение следует выбрать в качестве протонного тока J^(y). Естественный с физической точки зрения выбор вытекает из принципа соответствия. В качестве тока перехода берется матричный элемент
J'l(y) = e$(y)vutf(y), (7.33)
где еп = — е > 0 — заряд протона, a ty" (у) и (у) представляют собой решения в виде плоских волн для начального и конечного свободных протонов. Они имеют тот же вид, что (7.2) и (7.3), с той разницей, что масса протона есть М, а его начальные и конечные импульс и энергия — Pit Pt и <%it &, соответственно. Тогда для тока имеем
(у) = - V-ЩЩ Т *' (Pf~Pi)'y* (ph Sf) Уаи (Pt, Si). (7.34)
Потенциал А^(х), определяемый уравнениями (7.31) и (7.33), принято называть потенциалом Мёллера [58] для дираковского протона. В нерелятивистском приближении такой выбор тока перехода в качестве источника А^(х) был принят Гайзенбергом и применен им к переходам электрона при расчете излучения атомов с помощью матричной механики (см., например, [22,59]).
