Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
комплексным амплитудам q, q*. Найти правила действия этих операторов на
векторы стационарных состояний осциллятора и выяснить из физический
смысл.
(Д3.47)
HgNa -Ё/jдга}п
а
(Д3.48)
Т
где обобщенная сумма по состояниям
= Тг ехр
(Д3.49)
Через нее выражается обобщенная свободная энергия
П = -Т ln2f,
(Д3.50)
(Д3.51)
Общая схема квантовой теории
713
Решение. По принципу соответствия сопоставляем классической функции
Гамильтона отдельного осциллятора (2.160) квантовомеханический оператор
(индексы (к, а) опускаем):
Выбираем координатное представление, в котором эрмитов оператор
действительной обобщенной координаты есть оператор умножения Q = Q = =
y/hfcZ, эрмитов оператор обобщенного импульса Р = -ihd/dQ = = -
iVhcud/dt;, ? = у/ш/fiQ - безразмерная координата. Эти операторы
удовлетворяют коммутационным соотношениям Гейзенберга (Д3.23), в
частности
Определим также операторы, соответствующие безразмерным комплексным
амплитудам. Согласно (2.152),
Эти операторы неэрмитовы, а ф а). Но через них просто выражается
гамильтониан (Д3.52). Найдя произведение
(Д3.52)
[Q, Р\ = ih.
(Д3.53)
Q-^P
Q + -Р
СО
(Д3.54)
а^а =
PQ)
и пользуясь (Д3.53), будем иметь из (Д3.52)
(Д3.55)
Перемножая
находим соотношения коммутации для операторов а:
[а, а'*'] = 1, [а, а] = 0, [а'*', а'*'] = 0.
(Д3.56)
714
Дополнение 3
Заметим также, что а, а) можно записать в другой форме, эквивалентной
(Д3.54):
Теперь перейдем непосредственно к решению стационарного уравнения
Шредингера, которое мы запишем через безразмерный гамильтониан,
введя 8 = Ж/Нсо - 1/2 = д)а\
Рассмотрим также другой собственный вектор, аФ$. Имеем с помо-
следует, что аФ$ = аФ§-\ - тоже собственный вектор, отвечающий
собственному значению 8 - 1, а а - постоянная нормировки. Аналогичным
вектор, отвечающий собственному значению 8-\-1. Таким образом, действие
операторов а, а) на волновую функцию некоторого состояния приводит к
состояниям, энергии которых в безразмерной шкале на единицу ниже или выше
энергии исходного состояния. Поэтому рассматриваемые операторы можно
назвать соответственно понижающим и повышающим.
Поскольку среднее значение исходного гамильтониана (Д3.52)
в любом состоянии, то спектр оператора 8 ограничен снизу. Обозначим его
наименьшее собственное значение через Состояние с наименьшей энергией
называется основным. Поскольку состояния с Ф<?0-1 не существует, то
действие понижающего оператора а на основное состояние должно давать
нуль:
Это дифференциальное уравнение первого порядка имеет единственное
решение, определенное с точностью до нормировочной постоянной:
8Ф^ - 8Ф@.
(Д3.58)
щью (Д3.56) 8аФ$ = (аа+а - а)Ф$ = (8 - 1)аФ$. Из этого равенства
образом находим 8а^Ф$ = (8 + 1)а^Ф$, т. е. а^Ф$ = /ЗФ^+х - собственный
оо
Ж={Ф\Ж\Ф) = / (д +L02Q2m2)dQ > О
- ОО
(Д3.59)
Фо(0 = Аое ^ I2.
(Д3.60)
Общая схема квантовой теории
715
Мы приписали волновой функции начального состояния индекс 0, так как §Ф0
= 0 и, следовательно, величина <§о = 0.
Действуя повышающим оператором а) на волновую функцию Фо последовательно
один, два и т. д. раз, будем получать волновые функции возбужденных
состояний осциллятора, которым соответствуют безразмерные энергии ё\ = 1,
<§2 = 2, ..., 8п = п .. . Число их неограничено. Убедимся методом от
противного, что этой последовательностью спектр стационарных состояний
осциллятора исчерпывается. Пусть существует некоторое значение <?', не
входящее в найденную последовательность. Действуя на соответствующую
волновую функцию некоторое число раз понижающим оператором, получим в
конце концов для волновой функции основного состояния снова уравнение
(Д3.59), из которого снова следует прежняя последовательность состояний.
В итоге, возвращаясь к размерной энергии, можем записать спектр
гармонического осциллятора в виде
En = fuv(n+^j, где п = 0,1,... (Д3.61)
Отметим, что минимальная энергия квантового осциллятора конечна, Eq = =
hco/2, тогда как классический осциллятор может покоиться с Eq = 0.
Сравнивая спектр (Д3.61) с представлением (Д3.55) гамильтониана <?,
заключаем, что эрмитов оператор
п = а^а (Д3.62)
имеет целочисленные собственные значения п = 0, 1, ..., которые нумеруют
уровни возбуждения осциллятора.
Обратимся теперь к вычислению волновых функций. Из условия нор-
оо
мировки f \&o(Q)\2dQ = 1, подставляя в интеграл функцию (Д3.60)
-ОО оо 2 ____
и пользуясь интегралом Пуассона f е~ах dx = \/тг/а, находим посто-
- оо
янную нормировки: \Aq\ = (со/тгН)1^4. Она определяется с точностью до
фазового множителя, по модулю равного единице. Далее определяем введенные
выше постоянные ап, /Зп для понижающего и повышающего операторов. Записав
скалярное произведение аФп \ аФп = апФп\ <^пФп = = \ап\2, преобразуем
его, пользуясь определением сопряженного оператора и (Д3.62): аФ" | аФ" =
Ф" | а+аФ = Ф" | пФп = п. Из сравнения двух представлений скалярного
квадрата находим \ап\ = л/п и, выбирая фазовый множитель наиболее простым
образом, принимаем ап = л/п. Таким же способом находим /Зп = л/п + 1.
