Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
Векторы состояний системы бозонов симметричны, т. е. не изменяются при
перемене местами аргументов тождественных частиц:
Ф(ч 1, • • •, qi, t) = 1%1, qi, t). (Д3.7)
Физический смысл перестановки аргументов состоит в перемене местами двух
частиц (в соответствующем конфигурационном пространстве). Ввиду их
неразличимости такая операция не влечет за собой изменения состояния
системы, что и приводит к необходимости перестановочной симметрии
волновых функций типа (Д3.6) или (Д3.7).
Если взаимодействием между частицами можно пренебречь и приписать каждой
из частиц определенный набор четырех квантовых чисел (квантовое
состояние), то свойства антисимметрии (Д3.6) и симметрии (Д3.7) волновых
функций приводят к тому, что в одном квантовом состоянии может находиться
не более одного фермиона (принцип запрета Паули15). Число бозонов в одном
квантовом состоянии ничем не ограничено.
Операторы и их свойства. Основными задачами квантовой теории являются
нахождение спектров наблюдаемых конкретных квантовых систем, их
вероятностей в различных состояниях, их средних значений и дисперсий. Для
решения этих задач наблюдаемым (д) сопоставляют некоторые
13по имени выдающегося итальянского физика Энрико Ферми (1901-1954).
14по имени индийского физика Шатьендраната Бозе (1894-1974).
15Вольфганг Паули (1900-1958) - выдающийся физик-теоретик, Нобелевский
лауреат, работавший в Германии, Швейцарии и США.
704
Дополнение 3
линейные операторы (д), действующие в гильбертовом пространстве системы.
Если данная наблюдаемая имеет смысл и при классическом описании системы,
то ее оператор выражается через операторы канонических переменных
(координат и импульсов) теми же формулами, которые связывают
соответствующие классические величины (принцип соответствия)16.
Спектр {д} величины д находится путем решения задачи на собственные
значения и принадлежащие им собственные векторы
дфк = 9кФк, (Д3.8)
с надлежащими граничными условиями, роль которых играют общие требования
к волновым функциям (конечность, непрерывность, однозначность), уже
сформулированные выше. Характерное свойство собственного состояния при
измерении величины д в этом состоянии (точным прибором) с достоверностью
получится значение д^, т. е. для этой величины неопределенность Ад = 0.
Операторы qi, ..., qs одновременно измеримых величин коммутируют между
собой,
Ш, qj] = mj - = о, (Д3.9)
и если они, к тому же, независимы, то образуют полный набор физических
величин, определяющих состояние квантовой системы с наибольшей возможной
в квантовой механике полнотой. Общие собственные векторы системы
уравнений
= qj^q, i = 1, •••,", q = (qi, •••,") (ДЗ.ю)
образуют полный ортонормированный базис. Это означает, что они
удовлетворяют условию
(Фд, Фд) = (^1---^а\я1--- qs) = (Дз.п)
и что всякий вектор состояния Ф системы можно разложить в обобщенную
сумму вида
ф = Ес'^д = Ес'? м W3-12)
Q Q
(принцип суперпозиции состояний в квантовой механике). В (Д3.11) 5qq>
является символом Кронекера Sqnqtn в случае дискретного спектра и дельта-
функцией Дирака 5(q - q') в случае непрерывного спектра. Коэффициенты Cq
= tp(qi • • • qs) в суперпозиции (Д3.12) представляют собой волновую
16В общем случае операторы не коммутируют, поэтому при их построении
кроме принципа соответствия требуются дополнительные соображения,
например, самосопряженность - см. ниже.
Общая схема квантовой теории
705
функцию состояния Ф в (/-представлении, определяют распределение
вероятностей по q согласно (Д3.1) и (Д3.2) и могут быть найдены с помощью
условия ортонормированности (Д3.11) как скалярные произведения
Cq = ip(q) = Wv ф) = (<г|Ф>. (Д3.13)
Среднее значение величины F, оператор которой F, в состоянии Ф
определяется в общем случае как
Ft, = (F)Ф = (Ф, РФ) = <Ф|Г|Ф>. (Д3.14)
Если существует (/-представление с непрерывным спектром, то
Рф = J V*W)FqVW) dq, (Д3.15)
где Fq и (p(q) - оператор и волновая функция в (/-представлении. В
произвольном ^-представлении можно записать среднее как обобщенную сумму
Ft^CpFg'gCg, (Д3.16)
99'
где Сд = (д|Ф) - коэффициент в суперпозиции типа (Д3.12). Понимая
совокупность {Сд} = |Ф) как вектор-столбик, а совокупность {С**,} = (Ф|
как вектор-строчку, следует понимать оператор F в ^-представлении как
квадратную матрицу F = {Fg>g} с матричными элементами
Fg,g = (g'lFlg). (Д3.17)
Формула (Д3.17) записана в общей (абстрактной) форме. При переходе
к непрерывному (/-представлению она примет вид
Fg'g = J <P*g'(q)Fq(pg(q)dq. (Д3.18)
Линейный оператор Ft называется сопряженным к F, если для всяких векторов
состояний ср и ф
(ср, Рф) = (F^cp, ф) или {(р\Р\ф) = {Р^(р\ф). (Д3.19)
706
Дополнение 3
Оператор называется самосопряженным (эрмитовым17), если = F. Условие
самосопряженности оператора в матричной форме и в непрерывном (/-
представлении записывается соответственно как
рдд' = гд'д и J dq = J(Fq<P(o))*^(Q) dq- (Д3.20)
Важнейшим свойством эрмитовых операторов является то, что их собственные
