Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
(конкретной точки дискретного спектра) при одновременном измерении
совокупности наблюдаемых. В этом контексте ^(q, t) называют амплитудой
вероятности. Если спектр непрерывный, то можно лишь ставить вопрос о
вероятности наблюдения системы в элементе объема dsq конфигурационного
пространства около точки q, и формулу (Д3.1) надо заменить на
dwq(t) = p(q, t) dsq = |t)|2 dsq, (Д3.2)
где p(<7, t) = |t) |2 является плотностью вероятности для точек q
спектра. Распределение вероятностей в промежуточных случаях очевидным
образом комбинируется из (Д3.1) и (Д3.2). Для получения распределения
одной из координат qi надо просуммировать (Д3.1) или (Д3.2) по всем
значениям всех лишних координат. При суммировании же (Д3.1) или (Д3.2) по
всему конфигурационному пространству получится полная вероятность:
^2wg(t) = Л f)\2 = t)ip(q, t). (ДЗ.З)
Q Q Q
Сумма по q здесь понимается в обобщенном смысле, т. е. как конечная сумма
или сходящийся ряд, если спектр дискретен, и как интеграл, если спектр
непрерывен. В случае сходимости ряда или интеграла вероятность нормируют
на единицу. Если интеграл расходится, то производят нормировку на дельта-
функцию12.
Вектор состояния. Совокупность {VKg, t)} значений ф(с[, t) во всех точках
конфигурационного пространства можно рассматривать как вектор ф(?) =
|ip(t)) = {^(q, t)} в функциональном гильбертовом пространстве состояний
системы ("вектор состояния"). По отношению к вектору |ф(Ь)) волновую
функцию ?) в точке q можно рассматривать как компоненту вектора состояния
"вдоль оси q" гильбертова пространства. Говорят при этом, что абстрактный
вектор |ф^)) чистого состояния задан в (/-представлении как {ф(q, ?)}.
Совокупность {ф*(g, t)} тоже удобно рассматривать как вектор {ф(Ь)| =
ф^^), сопряженный вектору |ф(?)). По "скобочной" терминологии Дирака
векторы |ф) называются кет-векторами, (ф\ - бра-векторами
12Подробности см., например, в [Ландау и Лифшиц, Квантовая механика].
702
Дополнение 3
(от английского bra(c)ket - скобка). Между векторами |ip(t)) и (ср\
определено действие скалярного умножения, сопоставляющее этим двум
векторам (комплексное) число S по правилу
Здесь приведены употребительные обозначения для скалярного произведения.
В первом определении в (Д3.4) комплексное сопряжение компонент первого
сомножителя подразумевается, но не отмечается явно. Скалярное
произведение обладает очевидными свойствами
ЫФ) = {Ф1Ф1 + С2Ф2) =
= С1(<р\ф1)+С2(1р\'ф2), (Cl^l +С2<Р2\Ф) = С\{Ч>\\Ф) +С*2{^2\Ф)- (Д3-5)
Понятие вектора состояния особенно наглядно в случае дискретного спектра.
Например, для частицы со спином 1/2 спиновая координата = ±1/2 принимает
всего два значения, спиновый вектор состояния - столбец
сопряженный вектор - строка (ф\ = (^*(1/2), -0*(-1/2)) = (cj, с2).
Скалярное произведение, выражающее собой условие нормировки, составляется
по правилу матричного умножения "строка на столбец": (V'lV') - cici + ±
С2С2 = 1.
Поскольку через волновые функции (векторы состояний) выражаются измеримые
на опыте величины (вероятности, токи, наблюдаемые и их средние значения и
др.), волновые функции состояний, реализуемых на опыте, должны обладать
рядом математических свойств, которые обеспечивали бы непротиворечивость
квантовой теории. К числу общих свойств такого рода относятся
ограниченность волновых функций во всех точках конфигурационного
пространства, их однозначность (каждой точке соответствует одно значение
функции) и непрерывность векторов состояний вместе с их первыми
производными, когда в качестве аргументов выступают динамические
переменные с непрерывным спектром (например, декартовы или сферические
координаты). Эти требования следует иметь в виду при решении
дифференциальных уравнений, определяющих собственные векторы и
собственные значения физических величин, либо уравнений, описывающих
эволюцию состояний во времени.
S = (у, ф) = 1р+ф = (<р\ф) = ^2 (р*(о)ф(о). (Д3.4)
Q
Общая схема квантовой теории
703
Неразличимость тождественных частиц. Если квантовая система состоит из
тождественных частиц (в нерелятивистской теории тождественность означает
одинаковость внутренних квантовых чисел - масс, электрических зарядов и
спинов частиц), то ввиду волнового характера движения и вероятностного
смысла волновой функции частицы выступают как полностью неразличимые. Из
этого физического свойства - неразличимости тождественных частиц -
вытекает важное математическое свойство векторов состояния, описывающих
системы тождественных частиц. Все частицы, элементарные и составные,
делятся на два класса - фермионов13 (частиц с полу целыми спинами) и
бозонов14 (частиц с целыми спинами). Вектор состояния системы фермионов
антисимметричен, т. е. меняет знак при перемене местами аргументов,
относящихся к двум тождественным частицам, г-й и к-й:
¦ф(дъ qt, t) = --0(<3i, • • •, Qk, ¦ ¦ ¦, Яг, ¦ ¦ ¦, t).
(Д3.6)
Здесь под qi понимается совокупность четырех динамических переменных
(координат конфигурационного пространства), относящихся к г-й частице.
