Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 217

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 211 212 213 214 215 216 < 217 > 218 219 220 221 222 223 .. 225 >> Следующая

для средних
(Дз.зз)
В представлении Шредингера имеем
Fs = ^ + iffi,Fs\, (Д3.34)
где первой слагаемое в правой части - производная по явной зависимости
оператора от времени (если она имеется). В представлении Гейзенберга
TH = U+{t)^U{t)+l-[3e,FH}. (Д3.35)
Интегралами движения в квантовой механике называются такие наблюдаемые,
средние значения которых в любом состоянии системы не зависят от времени,
т. е. операторы производных по времени равны нулю. Если оператор
наблюдаемой не зависит явно от времени, то согласно (Д3.34), (Д3.35)
условием ее сохранения является коммутация ее оператора с гамильтонианом:
[Fh,s, - 0-
Особую роль среди всех состояний системы играют стационарные состояния,
являющиеся решениями стационарного уравнения Шредингера
ЖфЕ = ЕфЕ. (Д3.36)
Стационарные состояния существуют лишь при условии, что гамильтониан
системы не зависит от времени явно. Векторы стационарных состояний в
представлении Шредингера зависят от времени по закону
^е(х, t) = фЕ(х)ехр(Д3.37)
где х - совокупность обобщенных координат. В гейзенберговском
представлении векторы состояний от времени не зависят. Средние значения и
распределения вероятностей в стационарных состояниях не зависят от
времени
f=
710
Дополнение 3
для любых величин, операторы Fs которых (в представлении Шредингера!) не
зависят явно от времени.
Смешанные состояния квантовой системы не могут быть описаны волновыми
функциями (в отличие от чистых состояний, которым сопоставляются векторы
состояний и о которых шла речь выше). Смешанные состояния возникают, если
квантовая система взаимодействовала в прошлом (или продолжает
взаимодействовать) с другой системой, имеющей свои степени свободы. В
этом случае системе нельзя сопоставить какую-либо волновую функцию,
которая бы зависела только от обобщенных координат рассматриваемой
системы. Смешанное состояние можно понимать как статистическую
(некогерентную) смесь чистых состояний, информация об относительных фазах
которых отсутствует. Такие состояния описываются с помощью операторов
(матриц) плотности
P(t) = ^2\ч)Ряя'(я'\, (Д3.38)
qq'
где <7, как и раньше, обозначает полный набор наблюдаемых. Диагональные
элементы матрицы плотности имеют смысл вероятностей наблюдения
собственных значений q
wq = pqq = {q\p\q), (Д3.39)
с условием нормировки
J2pqq = Trp= 1. (Д3.40)
q
Среднее значение наблюдаемой величины
F = Tr(pF) = Tr(Fp) = ? Fqq,pq,q (Д3.41)
qq'
(под знаком следа Тг можно делать циклическую перестановку сомножителей).
Оператор плотности можно применять и для описания чистых состояний \ф). В
этом случае оператор плотности р = \ф){ф\ обладает характерным свойством
р2 = р.
Динамика системы, которая может находиться во внешнем поле, но не
взаимодействует с другими динамическими системами, в смешанном состоянии
описывается уравнением Лиувилля - Шредингера20 (оно же уравнение
20Жозеф Лиувилль (1809-1882) - французский математик.
Общая схема квантовой теории
711
Ландау-фон Неймана21):
(Д3.42)
Сюда входит производная по явной зависимости р от времени и гамильтониан
системы.
Важный пример смешанных состояний дают состояния термодинамического
равновесия. Оператор плотности при фиксированном числе частиц в системе
описывает каноническое распределение Гиббса
Вероятность наблюдения стационарного состояния фп с энергией Еп дается
диагональными элементами этого оператора
- статистическая сумма (по всем квантовым состояниям системы). Через
статистическую сумму выражаются термодинамические величины, например,
свободная энергия Гельмгольца F и внутренняя энергия 8\
В свою очередь, через приведенные термодинамические потенциалы F, 8 можно
вычислить другие термодинамические величины, в том числе важнейшую из них
- энтропию S, а также давление 5^, теплоемкость Су, свободную энергию
Гиббса Ф:
21 Джон (Янош) фон Нейман (1903-1957)- американский математик и физик,
разрабатывал математические основы квантовой механики и многое другое.
(Д3.43)
(Д3.44)
где Т - абсолютная температура в энергетических единицах,
п
(Д3.45)
F = -TlnZ, $ = Т2Щ^.
оТ
(Д3.46)
(Д3.46')
712
Дополнение 3
Если в системе имеются частицы разных сортов и числа частиц Na переменны,
то состояние равновесия такой системы описывается оператором плотности
где Na - оператор числа частиц а-го сорта, ра-химический потенциал
соответствующей компоненты (большое каноническое распределение Гиббса). В
(N-E)-представлении имеем вероятности (диагональные матричные элементы)
вида
с помощью которой, в частности, можно вычислить среднее число частиц:
На этом мы завершим общий обзор основных понятий квантовой теории. В
качестве примера решения квантовомеханической задачи рассмотрим весьма
важный для различных приложений линейный гармонический осциллятор.
Пример. Найти собственные векторы стационарных состояний и спектр энергии
отдельного линейного гармонического осциллятора с функцией Гамильтона
(2.160). Построить также неэрмитовы операторы а, а+, соответствующие
Предыдущая << 1 .. 211 212 213 214 215 216 < 217 > 218 219 220 221 222 223 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed