Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аветисян Р.Д. -> "Теоретические основы информатики" -> 9

Теоретические основы информатики - Аветисян Р.Д.

Аветисян Р.Д., Аветисян Д.О. Теоретические основы информатики — Телеком , 2003. — 170 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskieosnoviinformatiki2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 64 >> Следующая


(O0 -/П—ю

Cn = j с(ш)<? dlо (/1 = 0, + 1,±2,...,).

-(O0

(1.16)

Поскольку c'(w) является преобразованием Фурье функции /(/), то согласно (1.5) с учетом ограниченности спектра этой функции имеем

со0

/(Г) = — \ c((u)eiU"d(i), 2к -шп

(1.17)

ИЛИ, приняв T = Т()!2 = я/Ш(),

/

V wO )

1 CO0 jn-О)

= — Jc(w)e t0lWw (и = 0,±1.±2.....). (1.17а)

2 к —ш0

Сопоставив формулы (1.16) и (1.17а), получим:

с_я=2я/

( \ ПК

W0

(и = 0,±1,±2,...,).

(1.18)

Таким образом, значения /(пк/щ) при п =0, ±1, ±2,... полностью определяют коэффициенты разложения в ряд Фурье функции с(ш), которые, в свою очередь, определяют саму эту функцию с помощью формулы (1.3):

C(W) =

к

— X /

W0 Л = -°о

о

-пп

V шо )

Я

]П-Cl)

е при I W| =S W0

(1.19)

при I w| > W0

Подставляя значения c(w) в (1.5), окончательно получим формулу Для f(t):

fit)'

] щ

2w

I

,jmi

S /

О"»О "=-"

-tin

W0

It

/л—(0

e 0)0 d(u.

(1.20)

Пользуясь формулой (1.15), формулу (1.20) мбжно переписать как

fit)= 1 /

пп

VwO ;

sin(w0f-mt)

(1.20а)

20 или, что то же самое,

sinn--п

fit) =

(1,206)

Таким образом, если для заданной функции fit) можно найти конечное значение CO0 такое, чтобы для всех со, удовлетворяющих условию |со| > CO0, имело бы место с(со) = 0, то функцию fit) можно восстановить на основе значений ЦпТ) in = 0, ±1, ±2,...,), если значение T принять равным T = я/со0 = T0/2. Покажем, что восстановимость функции fit) останется в силе, если в качестве шага сканирования взять произвольное другое значение Tt из интервала 0 < Tt < п/щ. Действительно, произвольному фиксированному значению Tt из этого интервала соответствует значение со. = я/Г, > CO0. Поскольку со, > со(1, то для всех со, удовлетворяющих условию |со| > со,, будет иметь место с (со) = 0, т.е. функциюДг) можно восстановить совокупностью значений finTt) in = 0, ±1, ±2,...,), если, конечно, в формулах (1.20а) и (1.206) вместо значений со() и Г0 = 2я/(0() использовать значения COt и Т, = = 2я/со„. В поисках же наибольшего допустимого шага сканирования для заданной функции fit) приходим к следующей формулировке.

Наибольшее допустимое значение Шага сканирования для функций fit) равно

где COmax - круговая частота самой высокой гармонической составляющей в разложении функции fit). Иными словами, COmax - минимальная частота, для которой из условия |со| > COmax следует с(со) = 0.

Фигурирующая в формулах (1.20а) и (1.206) функция ф(г) = sinco()r/r (примерный характер этой функции приведен на рис. 1.1) замечательна тем, что ее прямое преобразование равно (см. выражение для разрывного множителя Дирихле [12]):

T

1 г

я

(1.21)

шах

СО

max

7 SinCO0/

c(CO) = -— е ' dt =

t

Я при I (0| < CO0 J при|со| = CO0, О при I со| > CO0

(1.22)

т.е. частотный спектр строго ограничен.

21

ГЛАВА 1 ft)

Рис. I.I. Примерный характер функции <p(t)

і Slll(0ot

Для более детального изучения того, что же происходит, когда нарушается условие T =S JC/(Omax, определим частотный спектр функции

/Г(0 = /(0М'), (1-23)

где

M')= ЪЬО-пТ).

(1.24)

Уравнение (1.23) можно рассматривать как выражение для амплитудной модуляции с несущей в виде последовательности единичных импульсов и модулирующей функции в виде функции /(/).

Функция 8j{t) представляет собой бесконечную последовательность единичных импульсов (площадь каждого из них равна единице), равноотстоящих во времени, начинающихся при минус бесконечности и продолжающихся до плюс бесконечности. Если же /(/) тождественно равна нулю в области / < 0, то наличие или отсутствие в этой области единичных импульсов перестает иметь значение и поэтому в (1.23) функцию S1(I) можно принять равной

M') =

16(/- пТ).

H = О

(1.24а)

Полагая, что функции /(/) и S7O) тождественно равны нулю в области г < 0, можно говорить об их лапласовых изображениях. Пользуясь теоремой запаздывания (1.13) и формулой для вычисления суммы' бесконечно убывающей геометрической прогрессии, определим лап-ласово изображение для функции (1.24а) при \е~рТ\ < 1:

L

/1=0

пТ)

¦ X*

п = О

-прТ _

1-е

-рТ

(1.246)

Пользуясь теоремой умножения в действительной области (1.12) и

22 Рис. 1.2. Амплитудно-частотная характеристика функции f(t) до и после ее сканирования

а) Амплитудно-частотная характеристика функции f(t);

б) Амплитудно-частотная характеристика функции fj(t)

приняв, что ЦД/)] = F(p), с учетом (1.23) и (1.246) получим

L[frU)} = ^jaT F(S) jds. (1.236)

/.TlJ и- J к І—Є

Пользуясь интегральной формулой Коши и подобрав соответствующий контур интегрирования, из (1.236) можно получить (см., например, [8]) формулу

4/7-(0] = tnp + jkmr), (1.23В)

где CO7- = 2л/7" - круговая частота сканирования или частота следования единичных импульсов. Положив в (1.23в) р = jю, получим выражение для прямого преобразования Фурье от функции /К/):

C(CD) = ^ YE(j(u + jk0ir). (1.25)

2л Jt=-OG
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 64 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed