Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аветисян Р.Д. -> "Теоретические основы информатики" -> 11

Теоретические основы информатики - Аветисян Р.Д.

Аветисян Р.Д., Аветисян Д.О. Теоретические основы информатики — Телеком , 2003. — 170 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskieosnoviinformatiki2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 64 >> Следующая


а Г(л) - гамма-функция от аргумента л, для которой, как известно, справедливы Г(1) - 1 и формула приведения (см.. например, [12]):

Г(л ) = (л - 1)(л" - 2) ... (л- - ^Г(л' - d) (d<x). (1.29в)

Как сама формулировка этой теоремы, так и ее доказательство базируются на интерполяционной формуле Лагранжа, которая позволяет построить многочлен степени т, интерполирующий заданную функцию f(r) в /»+1 узлах интерполяции / = /, (/ = 0,1,...,/7()

fit) = I /с,,) П

«=0 /=0 1*п

/ \

I



(1.30)

где функция ошибки Rm(t) равна нулю при всех / = (/ = 0, 1...../?;).

Выбрав в качестве узлов интерполяции Ik + 1 точки / = 0, ±Т,

±2T.....где Т> 0 некоторая конечная величина, формулу (1.30) после

несложных преобразований (с использованием формулы (1.29в)) можно представить как

fit)= і finT)+Ru(t).

(1.31)

Здесь интерполирующий многочлен Лагранжа мы специально выразили через функции Qin, к, t/T) и Sin, к, t/T), чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что при конечных значениях п и t/T имеют место

Iim Q

К)..,

(1.32)

Sin Jtl — - п

л--п

T

(1.33)

(см., например, [2]), т.е. для любого фиксированного значения / при к —> когда формула (1.31) принимает вид

fit)

= lim І Q(n,k,-} sf/іД.Л finT)+ lim R2k(t), (1.31a)

t-»~H = -4. V Tj\ TJ t->~

26 слагаемые в сумме, соответствующие конечным значениям /;, оказываются равными

sin 7t[ — - Il

-fY /(»/). (1.34)

І',

Сопоставив ато выражение с формулой (1.206). легко обнаружить, что оно совпадает со слагаемыми, фигурирующими в этой формуле (если, конечно, положить 7 = 7(/2).

Проследим за доказательством теоремы о полиномиальном сканировании, приведенным в [1].

Выше уже говорилось о том, что во всех узлах интерполяции функция ошибки /?„,(/) равна нулю. Нас же будут интересовать значения этой функции для произвольных (не обязательно равных узлам интерполяции) значений і из некоторого интервала (а. Ь), включающего все узлы интерполяции. Известно (см., например, [6]), что при существовании у функции f(t) всех производных до (т + 1 )-н включительно имеет место

r^') = ---7/""+1)(т)П с-',,). (1-35)

('"+l)! U-O

где

и < X = x(t) < Ь.

В случае, когда в качестве узлов интерполяции выбраны 2к + 1 точек отсчета / = 0, ±7, ±27, .... ±кТ. имеет место формула (1.31) с функцией ошибки /?2а('), равной

/?,,(/) = —і—/<2І+П(т) п (t-nT). !і.36)

(2 А' + 1)! „L\

где

min(-A7. l)si = т(/) =? max (A'7, t).

О тсюда следует неравенство

|Я2,(')| '

(2к +1)!

П (t-nT)

п = -к

sup|/,2A + l)(T)|. (1.37)

Для любого фиксированного значения t всегда можно найти достаточно большое значение к, такое, чтобы значение t оказалось в интервале -кТ < t < кТ. И тогда среди индексов -к < п < к можно найти индекс п = n(t) такой, чтобы имело место г = Т(п(1) - а), где 0 =? а =S 1.

27

ГЛАВА 1 При этом будет иметь место

п (t-iT) = T2k+] П (n(t)-а-п) =

п = -к

= т2к+](-\у

H = -A-

*-Я(,)+| Г(+)Г(~)

Г(1 - а) Г(а)' (1-38) где через Г(+) и Г(-) обозначены соответственно

Г(+) = Г(к + 1 + (n(t) - а)), (1.38а)

Г(-) = Г(к + 1 - (л(0 - а)). (1.386)

Отсюда пользуясь свойствами гамма-функции (см., например, [12])

п

Г(дг)Г(1-дс) = -

получим

П и-пТ)

п--к

sin та-

EIiJB7-"*' Г(+)Г(-).

(1.39)

(1.40)

Пусть при некотором фиксированном значении t значение к стремится к бесконечности. Очевидно, из конечности t следует конечность также n(t). И тогда, пользуясь формулами Стерлинга асимптотического разложения Г(*) и д:! (см., например, [11]), получим

Ит|К2*(0|!

V2|si

sinan

Jnp

EL 2

j\p 2

sup|/("4x)| (1+e,)

(1.41)

?l 2

где p = 2k + 1, a Zp —» 0 при p —»

Из (1.41) непосредственно следует справедливость теоремы о полиномиальном сканировании. Заметим, что в ряде случае вместо формулы (1.29) можно пользоваться эквивалентной стандартной формулой

/(O=Iimi I Я"7") П

/ n = -t j = -k

i*n

't-JTл

n-j

(1.42)

B [1] в качестве примера рассмотрена приведенная в (1.27) функция /(f) = At:ea' sin(cof + ?), которую, как уже говорилось выше, цри о Ф 0 и/или 2 ф 0 нельзя сканировать с помощью теоремы отсчетов. Подставляя в формулу (1.28) выражение для р-й производной этой функции и переходя к пределу р —» о«, можно найти уравнение для наибольших допустимых значений шага сканирования T0 = 2\) при заданных значе-

28 Реальная ось

(1.43)

а

Ha рис. 1.3 приведена симметричная относительно мнимой и вещественной осей координат комплексной плоскости замкнутая кривая (лист)

Из сопоставления (1.43) с (1.44) легко обнаружить весьма простой способ определения при заданных G и со наибольшего допустимого значения шага сканирования T0 = 2Х{), а именно, ^построить точку ,v = G+ j СО, провести луч, проходящий через начало координат и точку s, определить точку L пересечения этого луча с листом. Значение 70 при этом определяется как отношение длин двух отрезков:

Следует особо отметить, что хотя в общем случае, когда G^O и/или Z Ф 0, применительно к функции (1.27) теорема отсчетов "не работает", в том единственном случае, когда G = z = 0, т.е. когда речь идет о функции f(t) = A sin(cof + ?) с ограниченным спектром частот и применение теоремы отсчетов становится возможным, именно ею и следует пользоваться. Дело в том, что теорема отсчетов при этом устанавливает лимит сверху на шаг сканирования, равный л/со, тогда как значение лимита при полиномиальном сканировании оказывается равным 2/со, т.е. в л/2 раза меньше.
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 64 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed