Теоретические основы информатики - Аветисян Р.Д.
Скачать (прямая ссылка):
а Г(л) - гамма-функция от аргумента л, для которой, как известно, справедливы Г(1) - 1 и формула приведения (см.. например, [12]):
Г(л ) = (л - 1)(л" - 2) ... (л- - ^Г(л' - d) (d<x). (1.29в)
Как сама формулировка этой теоремы, так и ее доказательство базируются на интерполяционной формуле Лагранжа, которая позволяет построить многочлен степени т, интерполирующий заданную функцию f(r) в /»+1 узлах интерполяции / = /, (/ = 0,1,...,/7()
fit) = I /с,,) П
«=0 /=0 1*п
/ \
I
(1.30)
где функция ошибки Rm(t) равна нулю при всех / = (/ = 0, 1...../?;).
Выбрав в качестве узлов интерполяции Ik + 1 точки / = 0, ±Т,
±2T.....где Т> 0 некоторая конечная величина, формулу (1.30) после
несложных преобразований (с использованием формулы (1.29в)) можно представить как
fit)= і finT)+Ru(t).
(1.31)
Здесь интерполирующий многочлен Лагранжа мы специально выразили через функции Qin, к, t/T) и Sin, к, t/T), чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что при конечных значениях п и t/T имеют место
Iim Q
К)..,
(1.32)
Sin Jtl — - п
л--п
T
(1.33)
(см., например, [2]), т.е. для любого фиксированного значения / при к —> когда формула (1.31) принимает вид
fit)
= lim І Q(n,k,-} sf/іД.Л finT)+ lim R2k(t), (1.31a)
t-»~H = -4. V Tj\ TJ t->~
26 слагаемые в сумме, соответствующие конечным значениям /;, оказываются равными
sin 7t[ — - Il
-fY /(»/). (1.34)
І',
Сопоставив ато выражение с формулой (1.206). легко обнаружить, что оно совпадает со слагаемыми, фигурирующими в этой формуле (если, конечно, положить 7 = 7(/2).
Проследим за доказательством теоремы о полиномиальном сканировании, приведенным в [1].
Выше уже говорилось о том, что во всех узлах интерполяции функция ошибки /?„,(/) равна нулю. Нас же будут интересовать значения этой функции для произвольных (не обязательно равных узлам интерполяции) значений і из некоторого интервала (а. Ь), включающего все узлы интерполяции. Известно (см., например, [6]), что при существовании у функции f(t) всех производных до (т + 1 )-н включительно имеет место
r^') = ---7/""+1)(т)П с-',,). (1-35)
('"+l)! U-O
где
и < X = x(t) < Ь.
В случае, когда в качестве узлов интерполяции выбраны 2к + 1 точек отсчета / = 0, ±7, ±27, .... ±кТ. имеет место формула (1.31) с функцией ошибки /?2а('), равной
/?,,(/) = —і—/<2І+П(т) п (t-nT). !і.36)
(2 А' + 1)! „L\
где
min(-A7. l)si = т(/) =? max (A'7, t).
О тсюда следует неравенство
|Я2,(')| '
(2к +1)!
П (t-nT)
п = -к
sup|/,2A + l)(T)|. (1.37)
Для любого фиксированного значения t всегда можно найти достаточно большое значение к, такое, чтобы значение t оказалось в интервале -кТ < t < кТ. И тогда среди индексов -к < п < к можно найти индекс п = n(t) такой, чтобы имело место г = Т(п(1) - а), где 0 =? а =S 1.
27
ГЛАВА 1 При этом будет иметь место
п (t-iT) = T2k+] П (n(t)-а-п) =
п = -к
= т2к+](-\у
H = -A-
*-Я(,)+| Г(+)Г(~)
Г(1 - а) Г(а)' (1-38) где через Г(+) и Г(-) обозначены соответственно
Г(+) = Г(к + 1 + (n(t) - а)), (1.38а)
Г(-) = Г(к + 1 - (л(0 - а)). (1.386)
Отсюда пользуясь свойствами гамма-функции (см., например, [12])
п
Г(дг)Г(1-дс) = -
получим
П и-пТ)
п--к
sin та-
EIiJB7-"*' Г(+)Г(-).
(1.39)
(1.40)
Пусть при некотором фиксированном значении t значение к стремится к бесконечности. Очевидно, из конечности t следует конечность также n(t). И тогда, пользуясь формулами Стерлинга асимптотического разложения Г(*) и д:! (см., например, [11]), получим
Ит|К2*(0|!
V2|si
sinan
Jnp
EL 2
j\p 2
sup|/("4x)| (1+e,)
(1.41)
?l 2
где p = 2k + 1, a Zp —» 0 при p —»
Из (1.41) непосредственно следует справедливость теоремы о полиномиальном сканировании. Заметим, что в ряде случае вместо формулы (1.29) можно пользоваться эквивалентной стандартной формулой
/(O=Iimi I Я"7") П
/ n = -t j = -k
i*n
't-JTл
n-j
(1.42)
B [1] в качестве примера рассмотрена приведенная в (1.27) функция /(f) = At:ea' sin(cof + ?), которую, как уже говорилось выше, цри о Ф 0 и/или 2 ф 0 нельзя сканировать с помощью теоремы отсчетов. Подставляя в формулу (1.28) выражение для р-й производной этой функции и переходя к пределу р —» о«, можно найти уравнение для наибольших допустимых значений шага сканирования T0 = 2\) при заданных значе-
28 Реальная ось
(1.43)
а
Ha рис. 1.3 приведена симметричная относительно мнимой и вещественной осей координат комплексной плоскости замкнутая кривая (лист)
Из сопоставления (1.43) с (1.44) легко обнаружить весьма простой способ определения при заданных G и со наибольшего допустимого значения шага сканирования T0 = 2Х{), а именно, ^построить точку ,v = G+ j СО, провести луч, проходящий через начало координат и точку s, определить точку L пересечения этого луча с листом. Значение 70 при этом определяется как отношение длин двух отрезков:
Следует особо отметить, что хотя в общем случае, когда G^O и/или Z Ф 0, применительно к функции (1.27) теорема отсчетов "не работает", в том единственном случае, когда G = z = 0, т.е. когда речь идет о функции f(t) = A sin(cof + ?) с ограниченным спектром частот и применение теоремы отсчетов становится возможным, именно ею и следует пользоваться. Дело в том, что теорема отсчетов при этом устанавливает лимит сверху на шаг сканирования, равный л/со, тогда как значение лимита при полиномиальном сканировании оказывается равным 2/со, т.е. в л/2 раза меньше.
