Теоретические основы информатики - Аветисян Р.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде чем перейти к доказательству этих теорем, приведем без доказательства ряд фактов из теории рядов Фурье, интегральных преобразований Фурье и Лапласа, знание которых нам понадобится при доказа тельстве и физической интерпретации теоремы отсчетов [3, 12].
14 Читатели, знакомые с соответствующими разделами математики, эту часть текста могу т пропустить.
Пусть f(t) - некоторая периодическая функция от аргумента / с периодом 2л, имеющая на сегменте |-Л, л] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируемая на этом сегменте. Тогда во всех точках дифференцируемое™ функции ДО имеет место
по=by"- (!.и
2Л
где
е„ = ]f(t)e-'"'dt (п = 0,±1,±2,...,). (1.2)
-л
Если /(f) - периодическая функция с периодом 2/, имеющая на сегменте [-/, /] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируемая на этом сегменте, то во всех точках дифференцируемое™ функции ДО имеет место
it
1 * in—I
Л') = — Ic/ ' , (1.3)
Zi (I--OO
где
. л
-JI1-I
!
Cn = jf(t)e ' rdt (п =0, + 1,+2,...,). (1.4)
-і
При рассмотрении случаев с / —> т.е. случаев, когда /(f) не является периодической функцией, приходится иметь дело с континуальным аналогом формул (1.1) и (1.3), т.е. вместо суммирования по индексу пробегающему только целые значения (дискретный спектр частот), осуществлять интегрирование по ненрерывно изменяющемуся параметру со (непрерывный спектр частот).
Именно, пусть /(О - некоторая функция, определенная на всей числовой прямой, имеющая на каждом конечном сегменте не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируемая на °о), т.е. несобственный интеграл
l\.f(t)\dt
есть конечная величина (интеграл сходится). Тогда во всех точках дифференцируемое™ этой функции имеет место
/(/) = — Ic(IO)^0ViO, (1.5)
2л
15
ГЛАВА 1 где
c(CO) = ]f (I)e-"* dt.
(1.6)
Правые части формул (1.1) и (1.3) называются комплексными формами ряда Фурье для функции/(f) с периодами соответственно 2к и 21. Правая часть формулы (1.5) называется комплексной формой интеграла Фурье для функции/(f). Формулы (1.6) и (1.5) называются также формулами прямого и обратного интегральных преобразований Фурье. Во всех этих формулах мы придерживались традиции отнесения множителей 1/2к и 1/21 к формулам (1.1), (1.3) и (1.5), а не к формулам (1.2), (1.4) и (1.6), как это можно встретить у ряда авторов (например, в [12]). Так мы поступили с целью более "плавного" перехода от интегральных преобразований Фурье (прямое и обратное преобразования Фурье) к рассматриваемым ниже прямому и обратному интегральным преобразованиям Лапласа, т.е. к операционному исчислению, где коэффициент 1/2л всегда относят к обратному преобразованию Лапласа - аналогу формул (1.1), (1.3) и (1.5). Заметим также, что в рамках настоящей главы вопросы, связанные с интегральными преобразованиями как Фурье, так и Лапласа, рассматриваются лишь фрагментарно, ровно в той мере, в какой это необходимо, чтобы уследить за доказательством теоремы отсчетов и понимать ее физическую сущность. Для более подробного ознакомления с кругом рассматриваемых вопросов (например, для более детального анализа необходимых и достаточных условий существования этих преобразований) можно рекомендовать специальную литературу, например, [3, 5, 9, 10].
Физическая интерпретация пары формул (1.5), (1.6) (как и, впрочем, пар формул (1.1), (1.2) и (1.3), (1.4)) заключается в представлении функции/(0 как суммы (в общем случае бесконечной) ее гармонических (синусоидальных или косинусоидальных) составляющих с различными круговыми частотами со. При этом значения амплитуды и фазы каждой слагаемой с заданным значением круговой частоты со определяются формулой (1.6).
Замечательным свойством как рядов, гак и интеграла Фурье является их физическая реальность, т.е. для каждого фиксированного значения со значения амплитуды и фазы, полученные с помощью формул (1.2), (1.4) или (1.6), совпадают с их значениями, определенными экспериментальным путем, например, с помощью резонаторов, настроенных на данную частоту [2].
Своеобразным "свидетелем" соблюдения энергетического баланса при представлении функции /(f) в виде суммы ее гармонических составляющих является теорема Парсеваля [2, 11]:
J [/W]2 dt = -L Jlc(CO)I2 Жо.
16 Если сравнить формулы (1.5) и (1.6) с формулами (1.3) и (1.4) (или (1.1) и (1.2)), то можно обнаружить, что если интеграл (1.4), определяющий спектральную последовательность, всегда существует (разумеется, если функция /(/) интегрируема в конечном интервале [-/, /]), то существование интеграла (1.6), определяющего спектральную функцию C1(OO), весьма проблематично. Действительно, в отличие от формулы (1.4) (или (1.2)) в формуле (1.6) мы имеем дело с несобственным интегралом, сходимость которого существенно зависит от поведения функции/(/) в бесконечности. Оказывается, что для целого ряда достаточно простых и часто встречающихся функций интеграл (1.6) не сходится. В [7] в качестве примеров таких функций приводятся функции
/(O = ConstH f(t)=eJWI.
