Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аветисян Р.Д. -> "Теоретические основы информатики" -> 10

Теоретические основы информатики - Аветисян Р.Д.

Аветисян Р.Д., Аветисян Д.О. Теоретические основы информатики — Телеком , 2003. — 170 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskieosnoviinformatiki2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 64 >> Следующая


Пусть сканируемая функция /(/) имеет ограниченный спектр частот, а модуль ее прямого преобразования Фурье имеет вид, представленный на рис. 1.2л. Выбрав в качестве шага сканирования некоторое конечное значение Т. получим конкретное значение для круговой частоты сканирования, равное W7 = 2л/Т, н, как это следует из (1.25), частотная характеристика функции fT(t) будет иметь вид, представленный на рис. 1.2о. Отсюда легко заметить, что в зоне |со| < со-/- — OJmax частотные характеристики функции/(/) и fj(t) совпадают (с точностью до постоянного множителя), а вне этой зоны в результате сканирования имеют место искажения. Чем больше значение Cp7- Wmax, тем больше неповрежденный участок частотной характеристики функции /(/). Когда W7--Wmax S= Wmax, частотная характеристика функции /(/) остается

23

ГЛАВА 1 невредимой во всем диапазоне своего существования О =S |со| =S COmax-Именно это условие и есть условие восстановимости функции fit) на основе функции fT(t), т.е. для точного восстановления функции Дг) во всем диапазоне существования ее частотной характеристики необходимо и достаточно, чтобы имело место

cor&2comax. (1.26)

Подставляя здесь COr = 271/7", окончательно получим условие, накладываемое на значение 7 для обеспечения восстановимости функции fit):

7«—. (1.26а)

^max

Если же это условие нарушено, то восстановленная на основе функции fT(t) функция будет иметь частотную характеристику, совпадающую с частотной характеристикой функции fit) лишь в диапазоне частот О =S |со| < COr- COmax. Что же касается частот вне этого диапазона, то они будут искажены. Если, к примеру, шаг сканирования T выбран таким, что COr - COmax 0, то искажения будут иметь место во всем диапазоне частот.

Отсюда становится очевидным, что функции, для которых имеет место COmax —> оо, т.е. функции с неограничеными спектрами частот, в результате сканирования будут искажены во всем диапазоне частот О со < «о при любом конечном значении шага сканирования 7. А ведь на практике приходится иметь дело именно с сигналами, частотные спектры которых теоретически не ограничены. В рассматриваемом смысле применение теоремы отсчетов к реальным сигналам всегда сопровождается некоторой ошибкой. Вместе с тем, путем уменьшения шага сканирования нередко удается добиться приемлемого для практических целей уровня этих ошибок.

Дело в том, что при прохождении сигналов через однородные физические среды (например, через линейные динамические системы) они частично "теряют" свои высокие гармоники. Это обусловлено присущей таким средам инерционностью, что не позволяет им реагировать на "слишком быстрые", высокие гармоники, содержащиеся в этих сигналах. В результате эти среды становятся своеобразными фильтрами для высоких гармоник, амплитуды которых могут уменьшаться до пренебрежимо малых величин.

Пусть до того, как интересующий нас сигнал подвернется сканированию, в результате его прохождения через фильтрующие среды амплитуды всех гармоник этого сигнала в диапазоне частот COmax < со < < оо уменьшились настолько, что ими можно пренебречь. Тогда мы практически имеем дело с сигналом, частотный спектр которого ограничен диапазоном О |со| ®тах.

При выборе подходящего шага сканирования руководствуемся следующими соображениями:

24 если планируется точное (во всем диапазоне частот) восстановление функции f(t) на основе fj{t), то величина шага сканирования должна быть не более 7тах = л/COmax;

если же при восстановлении функции f(t) на основе fT(t) нас будут интересовать лишь гармоники из диапазона частот О =S |со| =S (O0, где CO0 < COmax, то величина шага сканирования может быть увеличена до значения

Г= 271 .

®0+Ютах

Выше уже говорилось о том, что все реальные сигналы имеют неограниченные спектры частот. Примером могут служит весьма часто встречающиеся сигналы, представленные функцией

/(f) = ^V"sin(oM + ?). (1.27)

Эта функция представляет собой собственные колебания линейных динамических систем, обусловленные парой комплексно-сопряженных корней р = а ±/со характеристических уравнений этих систем. Здесь Z + 1 - кратность этой пары корней, а А и ? - постоянные интегрирования. Частотный спектр этой функции при а*0 и/или Z Ф О простирается до бесконечности, что свидетельствует о неправомочности применения к ней теоремы отсчетов. Вместе с тем, сканирование этой функции, как и целого ряда других функций, удовлетворяющих определенным условиям (см. ниже), становится вполне возможным, если пользоваться другой теоремой - теоремой о полиномиальном сканировании [1].

Теорема о полиномиальном сканировании

Пусть f(t) - бесконечно дифференцируемая на всей числовой оси функция и существует такое X0 = 7()/2 > 0, что

Iim -4=- X1Q supl /''''(T)I = 0, (1.28)

/>->~ лір

где

Тогда при любом 0 < T =S 7",, для любого фиксированного значения t справедливо

4 /(O=Hm І й[»,к,-!~] sfn,*,^) KnT), (1.29)

к~*°°п = -к \ TJ К Tj

где

t \ J, . t

Q /U,- =-^7-TJ Tj--, (1.29а)

25

ГЛАВА 1 S п,к.

к

п

/=I

-пТ

JT

(1.296)
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 64 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed