Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
*) Как мы увидим ниже, уравнения Лондонов — следствие некоторых черт микроскопического электронного упорядочения.
2) Рассмотрим, например, случай полубесконечного сверхпроводника, занимающего полупространство х > 0. Тогда из уравнений (34.8) следует, что имеющие физический смысл решения экспоненциально убывают:
В (х) = В (0) ехр (—х/А).
Случаи с другой геометрией исследованы в задаче 2.
3) См. статью [16]. Эта теория обычно называется теорией БКШ (ВСБ).
4) Прямое указание на роль движения ионов при возникновении сверхпроводимости дает изотопический эффект. Критические температуры отличаются у разных изотопов данного металлического элемента, причем часто (но не всегда) они меняются обратно пропорционально корню квадратному из массы иона. Наличие какой-то зависимости от массы иона показывает, что ионы не могут играть чисто статическую роль, а важна их динамика.
354
Глава 34
имеющему вид г)
^"(к'к') = 1Я^^. (34-10>
где /ш — разность между энергиями электронов, к0 — волновой вектор Томаса — Ферми (17.50), q — разность волновых векторов электронов, а соч — частота фонона с волновым вектором q.
Поэтому экранирование за счет движения ионов может привести к эффективному притяжению между электронами с достаточно близкими значениями энергии (грубо говоря, их энергии должны отличаться на величину, не превышающую типичную энергию фононов, равную Ню в). Это притяжение 2) лежит в основе теории сверхпроводимости.
Если допустить, что электроны, энергии которых отличаются на величину порядка Нол 0, могут испытывать эффективное притяжение, то возникает возможность образования связанных пар таких электронов 3). Представляется весьма сомнительным, что такая возможность осуществится, поскольку для образования связанной пары в трехмерном случае сила взаимодействия частиц должна превышать некое минимальное значение, а весьма слабое эффективное притяжение вряд ли может удовлетворять этому условию. Однако Купер 117} показал, что такая неправдоподобная на первый взгляд возможность может реализоваться благодаря влиянию на взаимодействующую пару остальных N — 2 электронов, которое обусловлено принципом Паули.
Купер рассмотрел задачу о двух электронах, притяжение между которыми было бы слишком слабым для образования связанного состояния, если изолировать их от других электронов. Он, однако, показал, что при наличии ферми-сферы 4) принцип Паули приводит к радикальному изменению двухэлектронной задачи, и связанное состояние существует уже независимо от того, каким бы слабым ни было притяжение. Вычисления, проведенные Купером, показали, что для образования пары эффективное взаимодействие не обязательно должно превышать некоторое минимальное значение. Кроме того, они позволили понять, почему температура сверхпроводящего перехода столь мала по сравнению с остальными характеристическими температурами твердого тела. Это следует из куперовского решения, приводящего к значению энергии связи, которое в случае слабого притяжения значительно меньше потенциальной энергии притяжения.
Рассмотрение Купера относится к отдельной паре электронов в присутствии дополнительных электронов, подчиняющихся распределению Ферми. В теории Бардина, Купера и Шриффера делается существенный шаг вперед, заключающийся в том, что строится основное состояние, в котором все электроны
*) См. стр. 144—145. То обстоятельство, что такое притяжение возможно и может служить источником сверхпроводимости, впервые подчеркнуто Фрёлихом.
2) Любой другой механизм, приводящий к эффективному притяжению между электронами вблизи поверхности Ферми, также привел бы к сверхпроводимости при достаточно низких температурах. Однако в металлах ни в одном случае не было с достоверностью установлено существование сверхпроводимости, обусловленной другими механизмами.
3) Вообще говоря, можно было бы исследовать возможность образования связанного состояния п электронов, однако благодаря слабому взаимодействию и принципу Паули случай п = 2 оказывается наиболее предпочтительным.
4) Роль распределения Ферми, описывающего вырождение всех электронов, кроме двух, проявляется только в том, что оно запрещает двум избранным электронам занимать любые уровни с волновыми векторами, меньшими кр. Следовательно, расчет Купера был по сути дела двухэлектронным, однако рассмотрение было ограничено состояниями, построенными иэ одноэлектронных уровней, представляющих собой плоские волны с волновыми векторами, не меньшими к р. См. задачу 4.
Сверхпроводимость
355
образуют связанные пары. Такая модель является гораздо более общей, чем модель Купера, поскольку каждый электрон играет теперь двоякую роль. Во-первых, в силу принципа Паули он обеспечивает необходимое ограничение на разрешенные значения волновых векторов, что дает возможность другим электронам образовать связанные пары, несмотря на слабость притяжения. Во-вторых, сам этот электрон входит в состав одной из связанных пар.
В приближении БКШ волновая функция основного состояния электронов может быть описана следующим образом. Сгруппируем N электронов проводимости в N12 пар *) и допустим, что каждая пара описывается волновой функцией связанного состояния ф (rs, rV), где г — координата электрона, as — era спиновое квантовое число. Затем рассмотрим TV-электронную волновую функцию, являющуюся просто произведением N12 идентичных двухэлектронных волновых функций указанного типа:
