Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
При бесконечно малом равновесном изменении параметра а рабоїа, совершаемая системой, равна 5 W= А 6а,
где А—сопряженная внешнему параметру а обобщенная сила, являющаяся при равновесии функцией внешних параметров а, и температуры Т.
При неравновесном бесконечно малом изменении параметра а работа SPKhp. совершаемая системой, также равна 6W„P= Aapdaw,
но в этом случае обобщенная сила Aup благодаря исходным положениям термодинамики является функцией внешних параметров а(, внутренних параметров Ь, и их производных но времени
При изменении п внешних параметров работа системы
SfF=X Aidal. (1.1)
Как следует из определения рабо і ы и как видно из (1.1), в выражение элементарной рабо т ы не входит дифференциал температуры (т.е. коэффициент при dV равен нулю). Это приводит к тому, что дифференциальное выражение (1.1) не является полным дифференциалом какой-либо функции нарамсі-ров состояния системы (см. задачу 1.2). По этой причине элементарную работу обозначают ftff, а не dW.
Приведем примеры выражений для элементарной работы, совершаемой системой в некоторых случаях.
При квазистэтическом расширении системы, подверженной действию всестороннего равномерного давления, элемен і арная работа
bW=pdV (А=р. a=V), іде р—давление газа или жидкости, dV—увеличение объема системы; работа газа при расширении ею в пустоту равна
*' Входящие в уравнения термодинамики Q и W означают, как следует из іірельї-іупіеіо, не способ передачи, а энергию, полученную системой соответствующим способом; часто их, однако, называют просто теплотой и работой и говорят о превращении теплоты в работу и наоборот.
27 нулю, так как при этом газ не преодолевает никакого со-прот ивления.
Работа сил поверхностного натяжения при изменении площади поверхности на dl равна
5^=-ad2 (а=2, А - ~с), где <т—поверхностное натяжение-
Поляризация диэлектрика в электрическом поле связана с определенной работой. В зависимости от характера задачи (что определяет выбор различных независимых переменных, характеризующих состояние диэлектрика в электрическом поле) эта работа разная и для ее вычисления приходится пользоваться различными выражениями (см. § 51).
Элементарная работа, совершаемая единицей объема диэлектрика, при изменении в нем напряженности E электрического поля вследствие движения создающих его зарядов равна
5И7= - — (Е, dD)— - — (?AdZ>x+?vd?v + ?,d0,)
\ ' 4tt v у у '
(независимой переменной является в данной задаче индукция D), так что Ol = Dx, Ci2 = Dy, a3 = Dz, Al = -ExH4к), А2=-Еу;(4п), A3=-EJ(4k).
Для изотропного диэлектрика, когда DftF, эта работа
bW= —- EdD (и = D, A----?\. 4л ^ 4 тс J
Собственная работа поляризации (или работа поляризации в собственном смысле) 8 Wc есть работа ЬW без работы — d [?2/(8jc) ] возбуждения поля в вакууме:
6H-'c = O№-+d ^Q=-SdP А--Е).
Элементарная работа при изменении напряженности H в магнетике с индукцией В равна
bW=- 1(Н, dB)=- --(HxdBx+HvdBy+HzdBz) \ '4л '
Ial = Rx. а2 = By, аг = В., av = --Hx, A2=- -Н„ A3=- - Hz). V * 2 ' 3 - 1 4я 4тс > 3 4к J
Для изотропного магнетика эта работа равна
W=--IIdB Ia=Bt А=--Н]. 4п \ 4л J
Собственная работа намагничивания
6 Wc = -HdJ,
где a=J—намагниченность, A = -IL
28 Элементарная работа однородной деформации единицы обь-ема твердого тела равна
з
OlV= - ? CT1JdEji,
где Gij—нормальные и сдвиговые компоненты напряжения, —компоненты деформации (растяжения и сдвиги).
Работа, совершаемая системой при неравновесном переходе системы из состояния / в 2, всегда меньше работы, производимой ею при переходе из состояния 1 ъ 2 равновесным путем:
Wap<W.
Это особенно хорошо BH-inO на примере расширения или сжатия таза. При неравновесном расширении таза внешнее давление р' меньше исходного равновесного давления р газа, поэтому р' dV <pdV. При неравновесном сжатии, наоборот, внешнее давление р" больше равновесного давления, и так как работа в этом случае отрицательна, то и здесь p"dV<pdV.
В общем случае для любого неравновесного процесса эту теорему о максимальной работе при равновесных процессах можно доказать лишь иа основании второго начала термодинамики.
Несмотря на то что между понятиями работы и количества теплоты существует глубокое качественное различие, они являются родственными: и го и другое выражают энергию, переданную системе или с изменением, или без изменения внешних параметров. Благодаря этому родству теплоту часто называют термической работой. Элементарное количество теплоты 6Q, получаемое системой при равновесных процессах, может быть записано, подобно элементарной работе, в виде произведения обобщенной силы T (гемперат уры) на изменение обобщенной координаты S (энтропии):
5 Q = TdS.
Однако строгое обоснование этого выражения с доказательством однозначности энтропии может быть дано лишь вторым началом термодинамики.
§ 6. ТЕРМИЧЕСКИЕ И КАЛОРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
Второе исходное положение термодинамики о том, ч і о равновесные внутренние параметры являются функциями внешних параметров и температуры, приводит к существованию термических и калорического уравнений состояния системы, т. е. уравнений,
