Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
29 связывающих температуру Т, внешние параметры а, и какой-либо равновесный вну і ренний параметр bk:
Ih=Jkiaь .... ап\ Т).
Если внутренним параметром Ьк является внутренняя знеріття Ь (l\ = U), ю уравнение
V-Via,, ... Т) называется уравнением энергии или калорическим уравнением состояния. Оно так называется потому, что с его помощью, кмы ViiiiiiiM, можно находяїь іеплоемкоспт и другие подобные величины, обычно выражаемые ранее в калориях.
Если внутренним параметром Ijk является сопряженная внешнему параметру а, обобщенная сила A1 (bk = A,), то уравнения
A1 = A^al..... «„, Г) (/=1. 2. ..., п)
называются термическими уравнениями состоянии. Это название обусловлено тем, что с помошью этих уравнений вычисляв і ся температура.
Общее число термических и калорического уравнений состояния LHCteMbI равно числу ее степеней свободы, т.е. числу независимых параметров, харакіеризующич состояние системы. Как ноказьіваеі второе начало термодинамики, калорическое и каждое из термических уравнений состояния пс являются независимыми Они связаны дифференциальным уравнением в часіньїх производных (см. § 15).
Если калорическое и термические уравнения состояния известны, го с помощью начал термодинамики можно определи гь всс термодинамические свойства системы. Вывести сами уравнения состояния на основе начал термодинамики нельзя; они или устанавливаются и? onwia, или находятся методами статистической физики. Это еше раз указывает, что термодинамика и статистическая физика дополняют друг друга и полностью отделить их невозможно.
При изучении свойств равновесных систем термодинамика прежде весі о рассматривает свойства простых систем Простыми называются сис т емы с нос т оянныы числом част иц, состояние которых определяется только одним внешним параметром о и температурой Т. Иначе говоря, простые системы —это однофазные системы, определяемые двумя параметрами.
Термическое и калорическое уравнения состояния простой системы имеют соответственно вид
А — А [а. Т), f-U{a. /).
Іїсли А=р—давление и, следовательно, а= V—объем системы, ТО ураЙНСНИЯ СОСТОЯНИЯ СИСТеМЫ
p=p(V.T), V =T и [WT). (1.2)
5O Для такой простой системы, как идеальный газ, термическим уравнением состояния является уравнение Клапейрона—Менделеева*'
P V=vRT, (1.3)
где v=mjM—число молей газа массой т, M—молярная масса, Л=8,314 Дж/(К моль).
Используя закон Джоуля о независимости внутренней энергии газа от его объема при постоянной температуре
<»>
получаем калорическое уравнение состояния идеального газа Lr=J CydT,
где Cy—теплоемкость газа при постоянном объеме.
Для одноатомного идеального газа, как показывает опыт, теплоемкость Cv не зависит от температуры, поэтому U=Cy T+U0.
Уравнения (1.3), (1.4) для идеального газа легко получи і ь из молекулярно-кинетических представлений, даже не прибегая к общим статистическим методам. Так, закон (1.4) непосредственно следует из гої о, что для системы из невзаимодействующих частиц (идеальный газ) внутренняя энергия равна (в среднем) сумме кинетических энергий э і их час і иц, кот орая не зависи г от объема, занимаемого газом при данной температуре.
Для реальных газов эмпирически установлено более 150 термических уравнений состояния. Наиболее простым из них и качественно правильно передающим поведение реальных газов даже при переходе их в жидкость является уравнение Ван-дер-Ваальса (p + alV2)(V~b) = R7\
Это уравнение отличается от уравнения Клапейрона — Менделеева двумя поправками: на объем b самих молекул и на внутреннее давление al V2, определяемое взаимным притяжением молекул газа (а и b—константы, не зависящие от T и р, но разные для разных газов; в газах с большим а при постоянных TwV давление меньше, а с большим b—больше).
Необходимость введения поправок на объем в уравнение (1.3) при применении его к реальному газу впервые обосновывал
Объединяя законы Бойля- -Мариона и Гсй-Люссака, Клапейрон в 1834 г. получил уравнение состояния идеальною iajd pV=cT, где постоянная с для данной массы газа зависит от его природы На основе тех же законов н закона Авогадро Д И Менделеев в 1874 г. установил уравнение состояния рУ^(т>М)RT. где постоянная R одна и та же для всех газов.
31 еще М. В. Ломоносов, исходя из молекулярно-кинетических представлений о природе теплоты (теплового движения).
Более точными термическими уравнениями состояния реального газа являются (см. задачи 1.10: 1,11) первое и второе уравнения Дитеричи
p(V-b)=RTt-"!tRTy\
(1.5)
уравнение Бертло и др.
Как калорическое, гак и термическое уравнения состояния для реальных газов могут быть теоретически выведены методами статистической физики.
Термическое уравнение состояния для реальных газов может быть записано в виде ряда по степеням плотности NJV для произведения р V (вириальная форма уравнения состояния)•
0.6)
іде В. С, D, ... являются функциями температуры и называются вириальными коэффициентами (соответственно вторым, греіьим и т. д.). Первый член вириального ряда соответствует идеальному газу, в котором огсутсівуеі взаимодействие между молекулами, второй учитывает парное взаимодействие между молекулами, третий — тройное взаимодействие молекул и т. д. Уравнение (1.6) было получено в статистической физике вначале с помощью теоремы о вириале*'; в настоящее время уравнение может бьпь непосредственно установлено одним из основных методов статистической физики (методом Гиббса или методом Боголюбова, являющимся его дальнейшим развитием).
