Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
5? = dt/+ Ada
+ А і
(2.6)
Если А=р и a = V, то
Из этих выражений для теплоемкостей и их разности видно, что для определения Cy надо знать лишь одно калорическое уравнение, для определения же Cp и Cp— Cv надо знать и термические и калорическое уравнения состояния вещества. Второе пачало термодинамики, устанавливая связь между эгими уравнениями состояния, делает ненужным знание калорического уравнения для определения Cp—Cv (см. § 15). Согласно определению понятия «более высокая температура», в термодинамике иринимаеіся Cv = (dUidT)y>Q (и вообще Ca=(oUldT)a>О].
Для идеального газа термическим уравнением состояния является уравнение Клапейрона — Менделеева (1.3).
40 Калорическое уравнение состояния идеального газа можно установить исходя из опыюв Гей-Люссака и Джоуля —Томсона. Согласно этим опытам, при расширении разреженного газа в пустоту без притока теплоты (OQ =0) ею температура не изменяется. Отсюда следуе і закон Джоуля: энергия идеального газа, находящегося при постоянной температуре, не зависит от занимаемого им объема**. Действительно, поскольку при таком расширении 50 = 0, 5 W= 0 и, следовательно, по первому началу, dC/=0, то при dT-0 (согласно опытам Гей-Люссака) из уравнения dU={dU';dT)vdT+{dUldV)TdV=0 получаем {dUicV)T=u. Поэтому для идеального газа
dU={dU ldT)vdT= CydT, U=\CvdT.
Резульїаіьі опыга показывают, что у одноатомных газов теплоемкость Cy не зависит от температуры, для других же идеальных газов существует слабая зависимость теплоемкости Cy от температуры, что нетрудно понять исходя из молекулярных представлений о многоатомных идеальных газах.
Считая Cy для идеальных (одноатомных) газов постоянной, получаем калорическое уравнение состояния
U=CyTl U0. (2.8)
На основании уравнения Клапейрона—Менделеева и закона Джоуля для идеального газа находим
Cp-Cy=VR, откуда для молярных теплосмкостей (v=l)
Cp-Cv = R, для удельных теплоемкостей
Cp-Cv = RjM, для разности іеплоемкостей на одну молекулу газа
Cp-Cv=R/NA = k. Здесь ЛТд = 6,022 • IO23 моль"1 —постоянная Авогадро;
A= 1,38 • 1<Г2Э Дж/К—постоянная Больцмана.
В случае сложных систем, когда A1 = A^al, ..., а„; 7') и U=U{al, ..., а„\ Т) (/-1. 2, 3, .... и), теплоемкость равна
'=?=(?).,.....Чё-
*' Ьсли ич уравнения (1 3) наити T и иодсіавшь в выражение (2.8), то получим U- C1- pV' (vA) + U0, т.е. внутренняя энергия идеального газа будет функцией давления и объема и. следовательно. (SUicV)p^Q.
41 Из этого выражения можно определить теплоемкости вида
C0i.....v Ca1.....v Cai.....Xt И т.д.
Помимо теплоемкостей другой важной калорической величиной является теплота изотермического изменения какого-либо внешнего параметра системы—количество теплоты, необходимое для увеличения этого параметра на единицу при постоянной температуре и других внешних параметрах:
- /*=(5Є/<Ц)аі.....в_;Г.
Например, при расширении она равна
Ir = (SQieV)ti......-;7.
Из уравнения первого начала термодииамики
«e-dp+s^=(?.......,^дань
следует, что теплота изменения внешнего парамеїра (при T=Const)
.....,.....vT+*> P=I. 2. 3....."). (M)
а теплота изотермического расширения
4?......
Очевидно, что для идеального газа теплота расширения численно равна давлению:
Iv = P-
Используя полученные выражения для теплоемкости (2.5) и теплоты изменения внешнего параметра (2.9), запишем дифференциальное уравнение первого начала (2.4) в виде
Sfi = C1v..,в><ІГ+?/вісІд,.
§ 9. ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ УРАВНЕНИЯ
Во всякой термодинамической системе (простой или сложной) возможны три процесса: изотермический (T1=Const), адиабатный (52=0) и политропный (С= const). Число и характер других процессов зависят от природы систем.
В простой системе с внешним параметром а и сопряженным ему силовым параметром А кроме названных трех процессов можно наблюдать также процесс при а—const и процесс при
42 A =const. В сложных системах возможно большее число различных процессов. Если внешним параметром является объем сисіемьі (а —V и, следовательно, А=р), то процесс при K=Const называется изохорным. а при р = const изобарным. Эти пять процессов (изотермический, адиабаїньїй. политропный, изохорный и изобарный) считаются основными в термодинамике, причем адиабатный процесс является, очевидно, частным случаем но-литропного*1
Функциональная связь, возникающая в случае простой системы между двумя из величин Т, V, р (і е. между T и V. Тар, р и V) при том или ином процессе, называется уравнением этого процесса. Уравнения изотермического, изохорпого и изобарного процессов непосредственно получаются (без использования первого начала) из уравнения состояния любой простой сисіемьі соответственно при Г=const, K=COnst и P=Const.
Что касаеіся уравнений адиабатного и политропного процессов, то их нельзя найти, пользуясь лишь термическим уравнением состояния. Уравнения этих процессов можно получить с помощью первого начала термодинамики, используя также и калорическое уравнение состояния (поскольку ни элемент количества теплоты 6Q, ни геплоемкость С, определяющие соответственно ЭТИ процессы, не входят в термическое уравнение состояния).
