Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
SQ = CydT+{TcLlfydV.
При адиабатном процессе (SQ=O)
dr=- [7V(CV?)]dK.
Отсюда видно, что вода в интервале 0'С<(<4' С, когда у нее а<0, при адиабатном сжатии (dFcO) охлаждается
3.10. Основное уравнение термодинамики
TdS=dU+pdV (1)
в применении к изотермическому циклу abedea дает 7 Jd-S^dL' + ^dK
Но ^dS-O и |d?/=0, поэтому §pdV=0, откуда следует, что площади abca и cdec одинаковы.
Заметим, что мьг использовали основное уравнение равновесной термодинамики для всех состояний (метастабильных и нестабильных), поскольку по условию для них принимается справедливым уравнение Ван-дер-Ваальса Заметим также, что основное уравнение іермодинамики (!) нельзя применять к циклу abca, так как при переходе с участка be на прямолинейный участок са в точке с происходит необратимый процесс превращения вещества из однофазного в двухфазное состояние и вместо уравнения (1) надо пользоваться основным неравенством термодинамики.
....... " "Уdr + Т{др!?Т\dV_ СCvdГ [(
3.„. ^j^+^jew
(^J ^v- Из p = —RT/(V—b) —а!V2 производная (PpidT)v = Rl (V—b), поэтому
Поскольку Cy слабо зависит от температуры, то S=CrIn T+ R In (V—b) +S0. Для адиабатного процесса S^const, поэтому T(V—i)R'c'= const или (р +— Jx ХІ.Г Ь)«'*»*- const.
(дрЧТ),
Т№~у)т №
^pt Д I ор\ гт)у v-b• \ov)T~ (і
v-b V1 ' \гт/у v-b• \ovJt (v-h)1
Таким образом.
Cp-Cy —
R
1-2 a(V-hy:(RTV3)' Для не очень плотного газа, удерживая в этом выражении линейные а и і члены, получаем
СCv =-R[\+Iaj(RTV)]
307 3.13. Из дифференциального соотношения между термическим и калорическим уравнениями состояния
в случае P=Z(V)T находим
(а-
3.14. Идеальный парамагнетик определяется термическим уравнением
j~-f[-T). и
f"\
H - напряженность внешнего магнитного поля, /I — 1
некоторая функция артуменіа, удовлетворяющая условию /(O) = O. Дифференциальное соотношение между термическим A = А (Т, а) и калоричес-:им U=U (Т, а\ \раннениями состояния
(А =-И. a = J) имеет вид
'СИЧІЬге переменные, парамагнетика и ах о дим
KS).-
Подсгавляя (3) в (2). получаем ^
3.15. Из формул (2.6) и (3 26)
где А и а сопряженные величины, і ак ч го ё W= A da.
Работа растяжения 5 W— f dl= - ESd!, где S—площадь сечения стержня. I его длина; E—напряжение. Отсюда a = !. A=-ES. Таким об па кім,
где >.=d 1/1—деформация.
3.16. O-Cj = Tj^) ( Для резины a-!. A= -/. так как bW=-fdl
\дт)а\гт)
Поэтому
[Wo+(/о /)2|2
О- ^aLLiiil1 откуда видно,
от температуры і
-т
. Из уравнения (!)
связьівающеі о іермическое и калорическое уравнения
_ JV
і, в данном случае и
V а /
+/-о.
т.е. внутренняя знеріия U резины зависит только от температуры
Из формулы (1) также следует, что внутренняя энергия вещества с термическим уравнением сосгояния вида А — Tif (а) нс зависит от а. Из основного уравнения термодинамики
для резины находим,
TdS=d U-J dl=Г, d T-fdl > при растяжении она нагревается:
>0 по определению (как Су>0 и вообще і формуле
a-D „ .<.-?ї(Н полу,..« r,_r„=-_|_.j j .
—m)
и. следовательно. СЕ>С0.
3.18. Из выражения дифференциала энтропии
ZQ CydT+ T(ApidT)y й V T ~ ™г —
находим
7й(т)г"аг(
или
:=7',.
V V
Отсюда видпо, что если р линейно зависиі оі іемлерагурьі Т, то (дСуі'6У)т=0. т. е Cy не зависит ог обьема. Такова Си идеального газа и газа Ван-дер-Ваальса. так как в обоих этих случаях давление является линейной функцией температуры У газа Ван-дер-Ваальса Cp зависит от V
3.19. В соответствии с действительностью давление воздуха в комнаїе принимаем равным наружному Вследствие постоянного давление и расширения воздуха при нагревании значительная его часть при этом выходит из комнаты. В результате оказывается, что внутренняя энергия комнатного воздуха и его энтропия при отоплении комнаты уменьшаются, а внесенное в комнату холодное тело наї реваеіся не за счет энергии комнатного воздуха (которая при этом сама увеличивается), а за счеі знері ии цриходашего в комнату наружного воздуха.
В самом деле, s ак как энергия, сообщаемая І кг воздуха при отоплении комнаты, u-Ii0=Cv(T-T0). а изменение энтропии этой массы .?0 = Cp In (Т T,,), то інергия и энтропия, отнесенные к объему воздуха,
.109 ; 'і г
пз
Подставляя сюда выражение для p = pRTjM, получаем
С, цр t w[uu-C\ T0)
Ul = Pt, = CfpT+p{un-Cy T0), j =PJ=CpP In T+ р (Jo — Cp In Го).
воздуха і
RT
RT
уравнения состояния
RT
Из
выражении видно, что внутренняя энергия и энтропия воздуха комнаты при его нагревании уменьшаются Энергия, которая вводится в комнату при отоплении, уходнг через поры в стенках наружу їакнм обра<ом. «мой помещения отапливаются для того, чтобы поддерживать в них определенную температуру При этом используется понижение энтропии, а не увеличение энергии 3.20. Пусть на энтропийной диаграмме 5, T некоторый цикл abed ограничен предельными изотермами 7", и T1 (рис. 55). Fi о к.и д.
_W_ jTdS Ql J TdS
пл. abc da пл. 4 ahe BA -
і 12341-a,-C2-Oj-O пл Л12Я4-п.-ст,
