Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Найдем уравнение политропы и его частный случай—уравнение адиабаты для любой простой системы и для идеальної о і аза.
При политроішом процессе C=8(2/dГ= const и OQ = CdT (для адиабатного процесса C = O). По первому началу термодинамики, для просі ой системы bQ=dU^Ada, поэтому для политропы
CdT=CadT+ [{oV;da)s+A]da.
Используя (2.6), получаем
Если С ф ? го
dr+^-^^do-O. (2.10)
Это дифференциальное уравнение политроны в переменных Г и а. В переменных А и а дифференциальное уравнение политропы можно іюлучиїь, если из уравнения состояния
Т—Т(А, а) найти t^+ (t") ^0 и подставить в формулу
(2.10). Тогда
Формально и изотермический процесс можно рассматривать как ло-лигроииый (С-х)
43 (5П ІА^С-Ї] d»=0.
I4 г A )a С„ — С\да JA
Отсюда дифференциальное уравнение адиабаты (C=O) для прост ой системы имеет вид
где V = CJCa.
Для интегрирования уравнений политропы и адиабаты необходимо значь как термическое уравнение состояния [при определении [оТ1дА)а и (dT/oa)A ], так и калорическое уравнение состояния (при определении Ca И Ca).
Если система находится под действием силы всестороннего давления (А=р и а= V), то уравнениями политропы*1 и адиабаты соответственно будут
(rX^m^ <2-">
В случае идеального газа Cp и Cy на основании закона Джоуля зависят только от температуры, причем для одноатомных газов у = 5/3 и не зависит от Т, а для двухатомных газов у с увеличением T уменьшается и при комнатной температуре равна 1,4. 1
Для одноатомного идеального газа, подставляя в дифференциальное уравнение политропы производные (STjop)v и (QTjdV)pi определяемые из уравнения Клапейрона—Менделеева, после интегрирования получаем уравнение политроны
р V=const,
где п = {Ср — С)/(Cy — С) — показатель политропы.
Уравнение адиабаты этого газа
P^=Const (2.13)
называется уравнением Пуассона. В переменных VnT уравнение адиабаты идеального газа имеет вид
а в случае одноатомного идеального газа ТУ2/3=const.
Дифференциальные уравнения изобарного и изохорного процесса уравнения политропы (2 II). как нетрудно убедиться, получить нельзя Так как для одноатомного р
идеального газа теплоемкости Cy и Cp не зависят от т ем-пературы и являются постоянными, то для него (и только для него) изохорный и изобарный процессы являются поли-тропными.
Уравнения равновесных процессов можно изображать в виде графиков (диаграмм) на плоскости с соответствующими координатными осями. Одними из
Рнс. 4.
наиболее употребительных в термодинамике являются рабочие диаграммы, которые изображаются на плоскости с координатными осями V (ось абсцисс) и р (ось ординат). Элемент площади на этой плоскос ги изображает работу.
Через каждую точку на плоскости V, р можно провести изотерму и адиабату. Наклон этих кривых к оси абсцисс определяется соответственно производными {dpiб V^ И (dp/dv)ад, которые вычисляются из термического уравнения состояния и уравнения адиабаты данного вещества.
Для изотермы идеального газа (dp/cV)T = —p/V, а для его адиабаты (SpIdV)llti= -ур/ V, поэтому
Так как у =Cp/Cy > 1, то на плоскости V, р адиабата идеального газа наклонена к оси абсцисс всегда круче изотермы (рис. 4). В следующем параграфе будет показано, что соотношение (2.14) справедливо не только для идеально і о газа, но и для любого вещества.
§ 10. СВЯЗЬ МОДУЛЕЙ УПРУГОСТИ С ТЕП Л OEM КОСІ ЯМИ
Первое начало термодинамики позволяеі установи іь сііязь между модулями упругости и теплоємкостями системы.
Модуль упругости К системы определяет изменение давления (упругости), отнесенное к относительному изменению объема, и представляет собой величину, обратную коэффициенту сжимаемости:
Для того чтобы К было положительным (для устойчивых состояний, как мы увидим, dp и d V имеют разные знаки), поставлен знак минус. Модуль упругости определяется значением производной dp/dV, зависящей от условий, при которых происходит сжатие.
{dp!dV\a=y{dp;vV)7.
(2.14)
45 Наиболее употребительными модулями упругости ЯВЛЯЮ I ся
изотермический и адиабатный:
Отношение этих модулей таково:
K1JDpIoVh К, (дрідУ)т'
Из дифференциального уравнения адиабаты (2.12) имеем
(s±\ =-,!?? \cvj, '(ІТЦрУ
а из уравнения состояния T=T(V,p) и для изотермического процесса (d7"=0) получаем
Поэ гому
i?P,^ VIs _
и, следовательно.
[дрідУ Ь
= Y (2.15)
KsIK1=J,
т. е. отношение адиабатної о и изотермическої о модулей упругости любого вещества равно отношению теплоемкостей Cp/Су. Так как у Я (см. § 15), то Ks^K7 и (dp I (IV)s ^{(>р: дУ )т ¦ Измеряя экспериментально Ks и Кт, можно найти у.
Из соотношения (2.15) видно, что оно совпадает с (2.14) для идеального іаза, причем на плоскости V, р изоіерма ни для какого вещества не может быть круче адиабаты и, следовательно, иметь с ней несколько отдельных общих точек. Но она может помимо HpocіOiо пересечения касаіься адиабаїьі*' с обязаіельньгм пересечением, а также совпадать с ней на конечном участке.
ЗАДАЧИ
2.1. Пользуясь уравнением первою начала термодинамики, установиїь пробило 1'есса. тепловой эффект химической реакции, протекающей и ги при посто-нином объеме У, ILtи при постоянной давлении р, не зависит от проиежипоч-
