Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
Pst(n,#) = Pst(-n,-#). (6.36)
Аналогично, уравнения квазисредних (6.26) и (6.27) инвариантны при замене
n(t) те'(і) = -n(t), її{і) її'(і) = -її(і). (6.37)
Поэтому каждому решению {n(t), &(t)} уравнений (6.26) и (6.27) соответствует еще одно решение {те'(i) = -n(t); O'(t) = -&(t)} этих же уравнений.
6.3.2. Частное стационарное решение основного уравнения
В главе 10 будет показано, что стационарное решение основного уравнения может быть построено аналитически, если выполнены условия детального баланса:
ги_+(та + 1, &)Pst(n + 1, 0) = w+_(п, її)Р{п, її),
, т (6-38)
wj(та, її + l)Pst(n, її+ 1) = w\{n, її)Р(п, її)
или, соответственно, после исключения PS((та, її)
ги^(те,0+1) w-+(та+1,0+1) wj(n + l,0) w+_(n,0) _ wj(n,0) «/+-(те, 0+1) ^(n+1,0+1) «/-+(те+1,0)
(6.39)
После подстановки интенсивностей перехода (6.22) оказывается, что детальный баланс выполняется только для особого случая, когда параметр тренда
/5 = 7. (6.40)
Социология Часть И. 2
Стационарное распределение Pst(n, может быть найдено, используя формулу (см. 10.108):
^м)=П#^-П^рдо). (мі)
г=0»І(»>Т+1) ^ »-+(«'+1,0) После подстановки (6.22) и (6.40) будем иметь:
^.*)=(^я)(?Г(в^)(?Гх
X ехр {27?Ь + /oi2}Ps,(0, 0), (6.42)
где биноминальные коэффициенты
N\ т
(6.43)
M) (N-M)IMl'
Значение Pst(0, 0) получается из условия нормировки (6.24).
Рассмотрим, как экстремумы (максимумы) стационарного распределения вероятностей соотносятся со стационарными решениями уравнений квазисредних.
Перепишем Pst(n, #), используя формулу Стирлинга:
п\ « пп ехр {-п}. (6.44)
Получим:
Pst(n, 0) и с ехр {F(n, 0)}, (6.45)
где
F(n, 0) = !jtin + кп +
- [(N + п) In (N + п) + (N- п) In (N - п)] -
- [(6 + 0) In (в + 0) + (в - 0) In (в - 0)]. (6.46)
Экстремум {п, 0} распределения Pst(n, 0) определяется из следующих уравнений
dF(n, 0)
дп
о OF(n, 0)
= 0. (6.47)
Й,0
250
Формирование общественного мнения
251
Глава 6
Получим для {п,
п = NXg[^n+ уЩ (6.48)
и
O = OXgIyU]. (6.49)
С другой стороны, стационарное решение {nst,-&st} уравнений квазисредних (6.26) и (6.27) должно удовлетворять следующим уравнениям
О = N sin (кп8і + y&st) - nst cos (nfist 4- y&st), (6.50)
0 = (9 - 0st) exp {ynst} -(0 + #si) exp {-ynst}. (6.51)
Очевидно, что решение этих уравнений совпадает с (6.48) и (6.49), соответственно.
Более детальный анализ показывает, что максимумы (минимумы) распределения Pst(n, •&) совпадают с устойчивым (неустойчивым) стационарными решениями уравнений квазисредних.
6.3.3. Анализ устойчивости нулевого решения
Точка {у, х] = {0, 0} или {fl, 1O} = {0, 0} всегда является стационарной для уравнений квазисредних. Примечательно, что в политических терминах это означает сбалансированное распределение мнения {n+ = п_} с нейтральным внутренним предпочтением {#+ = = 0}, которое может описывать в упрощенной форме либеральную систему с равенством мнений между «+» и «—». Это положение также может быть начальным для рождения тоталитарной системы. Какой путь будет реализован, зависит от того, является состояние {у, х} = {0, 0} устойчивым или неустойчивым.
Для решения этого вопроса проведем анализ локальной устойчивости нулевого решения. Он будет также полезен при рассмотрении глобального поведения системы.
Социология
Часть П. 2
Для малых отклонений у(т) и х(т) от нулевого стационарного решения, уравнения квазисредних (6.30) и (6.31) имеют вид:
dy dr dx
~- = ух + ру dr
ат
где
-fix 4- A/fy,
(й-1).
(6.52) (6.53)
(6.54)
Решения этих линейных дифференциальных уравнений можно представить в следующем виде:
у(т) = Уо exp {Ar};
Х(т) = Xq ЄХР {Ar},
где А есть решения характеристического уравнения:
(6.55)
(-? - A) fi? 7 (P-A)
0,
которые имеют вид:
1 і /--Г"
А± ---(fi-fi)±-y/(fi-p)2 + 4fi(p + j?).
(6.56)
(6.57)
Общие решения (6.52) и (6.53) могут быть сейчас представлены как линейная комбинация двух собственных решений (6.55) с A = A+ и А = А_.
Стационарная точка (у, х) = (0, 0) будет устойчивой, если оба собственных значения имеют отрицательные вещественные части. Наоборот, стационарная точка (у, х) — (0,0) будет неустойчивой, если, по крайней мере, одно собственное значение имеет положительную вещественную часть.
252
Формирование общественного мнения
Глава 6
Из (6.57) следует, что точка (0, 0) является устойчивой, если параметры тренда находятся в области
(?-p)>0 и (p + y?)<0 (6.58)
или, соответственно,
1 — И,
й < (1 +/*) и ?<-. (6.59)
7
Наоборот, точка (0,0) является неустойчивой, если по крайней мере одно из условий:
(р - р) < 0 и/или (р + y?)>0 (6.60)
или, соответственно,
1 — к,
k > (1 4- р) и/или ? > -, (6.61)
T
удовлетворяется.
Собственные решения являются комплексно-сопряженными,
если
(p-p)2+4p(p + y?)<0 (6.62)
или, соответственно,
^<_^±^!<0. (6.63)
4/27
Предельный цикл в исходных нелинейных уравнений квазисредних может ожидаться, если начальное (0, 0) является неустойчивым и если одновременно выполняются (6.60, 6.61) и (6.62, 6.63).
