Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Едва ли когда-нибудь из разрозненных сведений, дошедших до нас в греческой математической и философской литературе, удастся воссоздать историю греческой геометрии до Евклида Достоверным можно считать, однако, то значение, которое имела в этой истории та философская греческая школа, которая искала гармонию мира и в свойствах целых чисел и в свойствах правильных многогранников. Французский историк математики Поль Тан-нери считает несомненным, что в Пифагорейской школе уже была сделана и первая попытка создать систему геометрии в сочинении, носившем название „Предание по Пифагору". Несомненно такое влияние Пифагорейской школы и на творца атомистической гипотезы Демокрита, которого можпо считать изобретателем метода неделимы^., и на Платона, диалоги которого придают такое значение геометрии („геометрия есть учение о вечном*') и в школе которого была разработана теория конических сечений.
Диалектическая борьба теорий единого и многого, возникшая, повиднмому, в Пифагорейской школе, направила философскую мысль греков уже в пятом веке на те вопросы об отношении между прерывным и непрерывным, конечным ii бесконечным, которые возникли снова в XVII и XVIII веках, в связи с открытием анализа бесконечно-малых, и в последнее время приобрели такое значение в философии математики, благодаря гениальным идеям Георга Кантора. Доказательством той глубины мысли, которою отличались воззрения греков на эти вопросы, служат знаменитые апории Зенона. Но в то же время та же диалектическая борьба не могла не повести и к тому критицизму по отношению ко всем отвлечениям, представителем которого явился Протагор. Апории Зенона, нападки на математиков Протагора и способствовали той строгости и точности iJohhtiiu и выводов, которая отличает и Начала Евклида, и сочинения других великих геометров Александрийского периода, Архимеда и Аполлония.
О жизни Евклида дошли до нас только скудные сведения. В историческом отрывке, сохранившемся в сочинении одного из коментаторов Евклида Прокла (410—485 по J*. X.), мы узнаем об Евклиде, что он был моложе учеников Платона, но старше и Архимеда и Эратосфена. (Отсюда молено заключить, что „акме"—расцвет деятельности Евклида—относится к 305—283 г. до P. X., к времени царствования Птоломея I). Из того же отрывка мы узнаем, что Евклид по своим философским воззрениям принадлежал к школе Платона, что он составил „Начала", собрал в одно целое многое, принадлежащее Евдоксу Книдскому, закончил начатое Феэтетом и дал „неоспоримые доказательства тому, что было недостаточно точно доказано его предшественниками".
Если в общем Начала Евклида представляют образец глубоко продуманного и выдержанного сочинения, то изучение их обнаружило в них и крупные недостатки. Одним из них является то, что Евклид во многих доказательствах обращается к интуиции или пользуется понятиями, иефор-мулированными в основных определениях и положениях. Так, например, уже в первом предложении первой книги Евклид допускает почерпнутое из интуиции предположение.
XlI
что две окружности пересекаются всегда в точке, — предположение, как мы теперь знаем, связанное с вопросом о непрерывности линий. В четвертом предложении той же книги он прибегает к движению для доказательства равенства треугольников. К интуиции он обращается и тогда, когда вводит понятие о точке, лежащей между двумя точками на прямой, и не считает нужным давать какие-либо указания относительно расположения фигур в плоскости. Другим недостатком является формулировка определений и основных положений*). Так, напр., формулировки определения точки, прямой, плоскости, положения о равенстве совмещающихся фигур не отличаются ни ясностью, ни определенностью.
Таковы некоторые „пятна" в бессмертном творении Александрийского ученого. Многие из „пятен" открылись критическому уму математиков только в XlX столетни. Но некоторые из них обратили на себя внимание и великих греческих геометров, работавших непосредственно после Евклида (Архимеда, Аполлония, Эратосфена, Птолемея), и первых его комментаторов.
Так, Архимед в своем сочинении „О сфере и цилиндре" считает нужным для теории измерения площадей и объемов определить прямую линию, как кратчайшее расстояние между двумя точками, и выставить новый постулат, существенное значение которого уяснено только в XIX столетии. Этот постулат Архимеда формулирован им в следующих словах **): „из двух неравных линий, двух неравных поверхностей или двух неравных тел большая величина может оказаться меньше той величины, которую мы получим, если повторим меньшую надлежащее число раз".
*) Необходимо, впрочем, отметить, что многие из недостатков объясняются, может быть, неточностью дошедших до нас переводов и копий греческого первоначального текста. Наилучшие издания Евклида в настоящее время суть: 1. L. Heiberg,—Euclidis Opera omnia, Leipzig, Teubner 1883—1888 (7 томов) и английское издание Heath'a (Cam bridge. University Press. 1908) в трех томах, снабженное комментариями. На русский язык „Начала" Евклида были переведены в 1739, 1769 и 1789 гг. и затем в 1819 и 1835 гг. Петрушевским. Новейший перевод принадлежит проф. Ващенко-Захарченко в 1880 г. (в нем отсутствуют 7, 8 и 9 книги).
