Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
**) Постулат этот был, новидимому, употребляем еще Евдоксом К н и д с к и м.
X ПІ
Знаменитый астроном Птолемей основывал свое доказательство постулата о параллельных прямых, заменяя его другим, по которому если две прямые параллельны в одном направлении, то они параллельны и в другом.
Сочинения, посвященные истолкованию „Нача^" Евклида, появились чрезвычайно рано. Так, уже во втором столетии до P. X. появились комментарии Геминуса Родосского. К сожалению, ни комментарии Геминуса, ни комментарии Герона Александрийского, Паппуса, Теона, Симнлиция или вовсе не дошли до нас, или дошли в виде отрывков в передаче Прокла и Анариция *). Б сочинении Прокла, жившего в пятом столетии по P. X., изложены попытки греческих геометров или доказать постулат о параллельных линиях на основании других аксиом или заменить его иным более очевидным. Попытки строгого обоснования теории параллельных линий продолжались и далее. Важнейшие и наиболее интересные из них принадлежат арабскому геометру Насир-Эддину, английскому ученому Валлису, занимавшему в Оксфордском университете кафедру „Евклида", иезуиту Гаккери, который в замечательном сочинении „Евклид» очищенный от всякого пятна" указал на возможность трех допущений, названных им гипотезами острого, прямого и тупого угла, французскому математику Лежандру — автору первого сочинения, в котором основы геометрии изложены по плану, отличному от Начал Евклида **). Но ко всем
*) Лучшее издание Прокла принадлежит Фридлейну (G. Friedlein— Prodi Diadochi in primum Euclidis elementorum librum commentarii Leipzig. 1873). Анариций — арабский геометр Абуль Аббас an Nairizi. Латинский перевод его комментариев найден лишь в 1896 г. в библиотеке Краковского университета профессором Курце и издан в виде дополнения к изданию „Начал" Гейберга. (Anaritii in decern libros priores elementorum Euclidis commentarii edidit M. Cnrtze. Leipzig. 1899).
**) Знакомство с различными построениями теории параллельных линий чрезвычайно полезно и даже необходимо для преподавателей геометрии в средней школе. Как источники для этого знакомства можно указать: сочинение академика В. Я. Буняковского „Параллельные линии" (1853 г.), статью Зонке о параллельных линиях в „Allgemeine Encyclopedic der Wissenschaften und Kunste", Ersch'a и Grubera (Dritte Sektion elfter Teil, s. 368. Leipzig 1838) и, наконец, прекрасное сочинение Ште-келя и Энгеля „Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss". Leipzig, 1895.
XIV
попыткам обоснования теории параллельных линий, известным Лобачевскому, он приложил слова: „из всех этих доказательств можно некоторые назвать остроумными, но все вообще ложными, недостаточными в своих основаниях и без должной строгости в суждении". Он и сам, как можно заключить из записи лекций по геометрии, читанных им в период от 1815 до 1817 г., пытался дать различные способы для ее обоснования; но уже в 1823 году в учебнике геометрии, представленном им для напечатания па казенный счет в виде „классической книги", он становится на другую точку зрения и заявляет, что „все до сих пор данные доказательства не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими" *). Через три года в заседании Физико-математического отделения 12 февраля 182С года Лобачевский дал уже ту систему, построенную на положении, противоречащем постулату Евклида, которая обессмертила его имя.
Славу открытия неевклидовой геометрии с Лобачевским разделяют Гаусс, который еще в 1799 году (письмо к Вольфгангу Болиаи) усомнился в истинности Евклидовой геометрии, нашел некоторые результаты неевклидовой геометрии, но не опубликовал своих открытий „крика ради беотийцев", и Иоганн Болиаи, венгерский офицер, который к сочинению своего отца в 1833 г. присоединил „Приложение, содержащее абсолютно истинное учение о пространстве".
Построение геометрии, независимой от постулату Евклида, имело прежде всего тот результат, что вызвало критическое отношение к тем основаниям, на которых была построена геометрия Евклида. Попытки такой критики мы находим и ранее Гаусса и Лобачевского **), но с открытием
*) Подробнее см. мою сгатыо: Отношение Лобачевского к теории параллельных линий (приложение к переводу книги Бонола „не евклидова Геометрия", перевод нроф. А. Р. Кулишера). Учебник Лобачевского издан Казанским Физико-математическим Обществом в 1910 г. В приложении помещены относящиеся к теории иараллельных линий выдержки из лекций 1815—1817 гг. См. также мою биографию Лобачевского (Русский биографический словарь).
**) Так еще в XVI веке философ Петр Рамус, энергичный враг схоластики, жертва Варфоломеевской ночи, выступил с резкою критикою
XY
неевклидовой геометрии они получили большее значение и привели к тем новым взглядам на геометрию, выражением которых являются „Основания геометрии" Гильберта. Сам Лобачевский в своих „Новых началах" изложил геометрию по системе, резко отличающейся от системы Евклида. Исходя из своих общих философских воззрений, сближающих его с сенсуализмом Конднльяка и английской эмпирической школы, он считает первым понятием геометрии— представление о соприкосновении: „это представление, получаемое прямо в природе чувствами, не происходит из других, а потому и не 1юдлєукнт уже толкованию". Прикосновение двух тел „назначает" относительное положение двух точек, которое называется расстоянием. Понятие о расстоянии позволяет дать определение шара и круга и только после выяснения этих попятнй вводятся плоскость ii прямая.
