Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Исследования в области неевклидовой геометрии имели громадное значение и в другом отношении. Они впервые определенно выдвинули вопросы аксиоматического характера, вопросы о независимости и совместимости аксиом. Если бы постулат Евклида был логическим следствием прочих аксиом (и постулатов) его геометрии, то построение геометрии на основе этих аксиом и противоположного постулату Евклида постулата Лобачевского („через всякую точку вне прямой мояшо провести нучек прямых с нею не псфесекающихся") должно было бы привести к противоречию и было бы логически невозможно.
Между тем Лобачевский и Болпап вывели, правда, путем весьма искусственных заключений, тригонометрические формулы „воображаемой" пли „абсолютной" геометрии, получающиеся из формул сферической геометрии путем умножения всех сторон на V—1. Отсутствие противоречий в сферической тригонометрии доказывало отсутствие противоречия в формулах новой геометрии и вместе с тем доказывало и
Евклида в своих: Scholae mathematicae (1569 г.). Лейбниц исходил из определений плоскости и прямой, отличных от определений Евклида. Многочисленные издания „Начал геометрии" Лежандра (1-ое издание 1794 г., последнее (14-ое) при лшзни Лежандра (1833 т.) дают уже новую систему изложения геометрии, менее искусственную, но в некоторых пунктах и менее строгую, чем изложение Евклида.
XVI
независимость постулата Евклида от других аксиом и совместимость постулата Лобачевского с этими аксиомами. Позже доказательство независимости постулата Евклида могло быть проведено значительно проше. В знаменитом мемуаре: „Опыт истолкования неевклидовой геометрии" (1868 г.) *). Бельтрами показал, что планиметрия Лобачевского в известных пределах совпадает с геометрией поверхностей с постоянною отрицательною кривизною и таким образом, получает реальное истолкование. В 1871 г. Феликс Клейн, пользуясь исследованиями Кэли (1859 г.) о связи метрической геометрии с проективною геометрігею, вывел из общего мероопределения, данного английским ученым, новую интерпретацию не только геометрии Лобачевского, но и геометрии Риманна, в которой из точки лежащей вне прямой нельзя провести ни одной прямой параллельной данной, и дал этим новое доказательство, приложимое и к планиметрии и к стереометрии, независимости теории параллельных линий от других аксиом Евклидовой геометрии **). Но работы Кэли и Клейна стали возможными только после того, как была почти закончена работа над созданием проективной геометрии, историю которой мы считаем полезным напомнить в нескольких словах.
В то время когда Лобачевский в Казани приступал к своим исследованиям, приведшим его к построению геометрической дисцишпгаы, основанной на утверждении, противоположном постулату Евклида о параллельных линиях, пленный французский офицер в Саратове систематизировал другую геометрическую дисциплину, которая,
*) Русский перевод этого мемуара помещен в сборнике „Основания геометрии", изданном Казанским Фпзико-математическим Обществом к празднованию столетней годовщипы дня рождения Н. И. Лобачевскою.
**) В прекрасной книге Вебера-Вельштейна—Эпниклопедия элементарной геометрии, т. II (русский перевод нздан проф. Каганом в Одессе в 1902 г.) читатель может познакомиться с интериретациею трех геометрий с помощью сетей сфер Евклидовой геометрии. Изучение этой интерпретации и вообще всего сочинения Вельштейна может чрезвычайно облегчить усвоение идей Гильберта, но и обратно, предварительное изучение „Оснований геометрии" может помочь при чтении книги Вйль-штейна, значительная часть которой посвящена философским вопросам, связанным с основаниями геометрии.
XVII
как мы теперь знаем, может быть построена независимо от аксиом конгруэнтности и постулата о параллельных линиях. Начала проективной геометрии, из которой Понселе (1788— 1867) создал важную отросль математики, были заложены еще греческими геометрами Александрийского периода. Тогда Аполлоний Иергийский изучал свойства конических сечений, рассматривая их как проекции круга, и в его сочинении можно найти даже образование конического сечения путем пересечения лучей двух проективных пучков. Позже Иаппус Александрийский около 290 г. по P. X. дал доказательство своей знаменитой теоремы, которая под названием Паскалевой играет такую важную роль в издаваемом нами сочинении Гильберта.
В эпоху Возрождения Альбертн, А. Дюрер и гениальный Леонардо да Винчи создали теорию перспективного изображения - частного случая проективного изображения. В 1639 г. Дезарг дал свою знаменитую теорему, теорему плоской геометрии, но доказанную с помощью проективного рассмотрения пространственных образов, и около !того же времени Паскаль пашел теорему о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение, частный случай которой найден был еще Паппусом. (Эта теорема Паппуса (под названием теоремы Паскаля) и теорема Дезарга изучаются в сочинении Гильберта). В XVIII столетии Монж в своей „Начертательной геометрии" и Карно в „Геометрии положения" находили также частные результаты проективной геометрии.
Но все добытые до Понселе важные результаты представляют несвязанные части великого целого и только в его „Traite des proprietes projectives [des figures" (1822) они были приведены в стройную систему. Но истинный характер проективной геометрии — ее отношение к различным группам аксиом выяснялся только шаг за шагом. И сам Понселе и его школа (Штейнер, Шаль, Лагерр) строили проективную геометрию, исходя из понятия о расстоянии, т. е. с помощью аксиом о конгруэнтности и пользуясь постулатом о параллельных линиях. В их изложении метрические свойства фигур были поэтому смешаны с проективными (дескриптивными, как их называл Понселе) свойствами. Впервые Штаудт в своем классическом сочинении „Geometrie der Lage" (1847) выяснил один из основ-
