Задачи на разрезание - Екимова М.А.
IS BN 5-94057-051-8
Скачать (прямая ссылка):
Если же p <<? << na, где n ^ 2 (n — целое число), то от прямоугольника p X q отрежем полоску размерами a X q и отрежем такую же полоску от первого прямоугольника. Таким образом, за несколько шагов уменьшим длину второго прямоугольника (от числа p до числа p', причем a? <<??p' ^ 2a), а у первого прямоугольника длина a не изменится, хотя уменьшится ширина. Получили случай, который рассмотрен ранее, и задача решена полностью.
9.21. Решение. Пусть размеры прямоугольников a х b и p х q. По задаче 9.20 перекроим первый прямоугольник так, что его высота станет равнойp (т.е. получится прямоугольникpх (ab/p)) и приставим его ко второму прямоугольнику.
Ответы и решения
109
9.22. Ответ. Верно. Решение. Сначала многоугольник разрежем на n треугольников. Каждый треугольник перекроим в прямоугольник (задача 9.18). Получим n прямоугольников. Перекроив пару прямоугольников в один прямоугольник (задача 9.21), переходим к случаю ni = n — 1 прямоугольников. Проделав эту операцию (n — 1) раз, получим один прямоугольник. Затем перекроим его в квадрат (задача
9.20).
9.23. Решение. Первый многоугольник перекроим в квадрат (по задаче 9.22), линии раскроя обозначив синим цветом. Второй (равновеликий) перекроим в тот же квадрат, линии раскроя обозначив красным. Сведя красные и синие линии на одном чертеже, проведем разрезы по всем этим линиям. Этот раскрой квадрата годится для обоих многоугольников.
Рис. 235
9.24. Ответ. См. рис. 235. Здесь EN \\ AB, точка N — середина отрезка CD.
9.25. Решение. 1) Если треугольник уже прямоугольный, то разрезать ничего не нужно.
2) Пусть дан тупоугольный треугольник. Обозначим его ABC, где B — тупой угол (рис.236). Середины сторон AB и BC обозначим K и L соответственно. На стороне AC выберем точку M такую, что LKML = 90°. Это можно сделать даже двумя способами, т.к. окружность, построенная на KL как на диаметре, будет пересекать отрезок ACв двух точках. Делая разрезы вдоль KMи ML, получаем три части, из которых составляется прямоугольный треугольник (см. рис. 236).
3) Пусть дан остроугольный треугольник. Разрежем его вдоль любой его медианы. Из полученных частей составляется тупоугольный треугольник, из которого, в свою очередь (по п.2) можно уже получить прямоугольный треугольник.
110
§10. Разные задачи на разрезание
А
Ъ
Рис. 236
Рис. 237
9.26. Ответ. См. рис. 237. Длина стороны третьего квадрата рав-
§10. Разные задачи на разрезание Урок 10.1
10.1. Решение. Разрежем треугольник по средним линиям. Получим 4 равных равносторонних треугольника. Проделав ту же операцию для всех четырех треугольников, получим 16. А если бы мы только один малый треугольник разрезали по средним линиям, то добавилось бы 3 треугольника (и получилось бы 7). Аналогично можно получить любое число n равносторонних треугольников, если n делится на 3 с остатком 1, т.е. если n = 4, 7, 10, 13, ... Сто треугольников получить можно.
10.2. Ответ. Да, верно. Решение. Сторону треугольника разобьем на отрезки по 2 метра, а затем отрежем от треугольника полоску,
на а/a2 + b2.
2
состоящую из 999+998 равносторонних треугольников со стороной 2 метра (как показано на рис. 238). Останется один равносторонний треугольник со стороной 1996 метров. И всего получится как раз 999+998+1=1998 треугольников.
Рис. 238
10.3. Ответ. Можно (рис.239). Каждый из шестиугольных кусков надо дополнительно разрезать по любому диаметру.
Ответы и решения
111
Рис. 239 Рис. 240
Рис. 241 Рис. 242 Рис. 243
10.4. Ответ. Можно (рис.240). Каждый из шестиугольных кусков надо дополнительно разрезать по любому диаметру.
10.5. Ответ. Да. Пример см. на рис.241.
10.6. Ответ. См. рис. 242.
10.7. Ответ. Можно (рис. 243).
Урок 10.2
10.8. Ответ. 1) См. рис. 244. 2) Для невыпуклого пятиугольника это неверно.
112
§10. Разные задачи на разрезание
Рис. 244 Рис. 245
10.9. Ответ. См. рис. 245.
10.10. Ответ. Два способа см. на рис.246.
Рис. 246 Рис. 247
10.11. Ответ. Пример такой раскройки квадрата — на рис. 247. Комментарий. Можно доказать, что число остроугольных треугольников, на которые разрезается квадрат, не менее 7.
10.12. Ответ. Да, можно (рис. 248). Решение. Возьмем равнобедренный треугольник с углами 45°, 67°30' и 67°30' (BC = AC). Разрежем его по трисектрисам угла B. Тогда треугольники ABK и BHC равнобедренные (в них, соответственно, AB = BK и BH = HC), а треугольники ABH и KBH равны, поэтому из треугольников ABH и BKC составляется равнобедренный треугольник, такой же, как ABHC.
10.13. Ответ. Есть еще такой треугольник, его углы 30°, 60°, 90° (рис.249). Здесь EHLAC, AH = HC, CE — биссектриса угла ACB.
Ответы и решения
113
Урок 10.3
10.14. Ответ. Да. См. рис. 250.
Рис. 251
10.15. Решение. Треугольники сложим так, чтобы их попарно равные стороны совпали, а четыре вершины, соответствующие четырем вершинам четырехугольника, сошлись в одну точку (рис. 251). По-
114
§10. Разные задачи на разрезание
лучим четырехугольник с попарно равными противоположными сторонами, а это — параллелограмм.
10.16. Ответ. Нет. Каждая вершина 1000-угольника — это вершина квадрата или пятиугольника, а таких вершин 4 + 5 • 199 = 999 (меньше тысячи).
