Задачи на разрезание - Екимова М.А.
IS BN 5-94057-051-8
Скачать (прямая ссылка):
нет, и приведем это предположение к Рис. 191
противоречию.
Если из клеток K, L хотя бы одна красная, то ни одна из клеток M, N не может быть красной (иначе получим красную дорожку). Клетки M, N — черные, тогда R, T — красные (иначе получим черную дорожку MNR или MNT). Но тогда получим красную дорожку LRT (если L — красная) или KORT (если K — красная). Противоречие.
Пусть обе клетки K, L черные. Тогда клетка P должна быть красной, иначе получим черную дорожку PKL. Аналогично, клетка S — красная. Тогда M — обязательно черная. Клетка N также черная (иначе PSON — красная дорожка). Если клетка N черная, то обе клетки R, T красные, иначе получим черную дорожку. Но тогда получаем красную дорожку с началом в клетке S. Противоречие.
Итак, непременно есть дорожка из плиток одного цвета, соединяющая два отрезка того же цвета на противоположных сторонах фигуры.
8.27. Решение. У фигуры из предыдущей задачи и данной фигуры одинаковые топологические свойства (у каждой клетки шесть соседок). Чтобы выиграть, Коля первым ходом закрашивает центральную клетку.
8.28. Ответ. Как бы ни лежали доминошки, отмеченные клетки окрасим так, как указано нРаирси. с1.91292 (цвета помечены буквами: к — красный, б — белый, с — синий, ч — черный). Вторую клетку доминошки окрасим в тот же цвет, что и первую.
л У л. У
ю 1[ ю в
V л У ж
в_ ю IT ю
Ж У ж У
ю 1[ ю в
V л ж
в" ю в" ю
Ответы и решения
93
8.29. Решение. В каждой из 11 строк не менее 8 белых клеток. Общее число белых клеток не менее 88. Если бы в каждом столбце было не более 5 белых клеток (всего столбцов 15), то общее число белых клеток было бы не более 75. Противоречие. Поэтому хотя бы в одном столбце не менее 6 белых клеток (а всего в столбце 11 клеток), значит, белых клеток больше, чем черных.
8.30. Решение. Разобьем квадрат на квадратики 2 х 2. Либо все четыре клетки такого квадратика одного цвета, либо две его клетки белые, а две черные. В каждом квадратике число черных клеток четно, а потому и общее число черных клеток четно.
8.31. Решение. В любой полоске 1 х5 не менее трех черных клеток. Действительно, поскольку в каждой полоске 1 х 2 есть хотя бы одна черная клетка, то если в полоске 1 х 5 менее трех черных клеток, то их две (они соседние с центральной). Но тогда в полоске 1 х 6, содержащей рассмотренную полоску 1 х 5, нет двух черных клеток подряд. Итак во всем квадрате не менее 6000 черных клеток (3/5) общего количества). Пример, где ровно 6000 черных клеток: замостите исходный квадрат плитками 5 х 5 клеток, раскраску которых смотрите на рис. 193.
8.32. Решение. При каждой из восьми вершин куба по три клетки, и все они разных цветов. Это и дает 8 клеток каждого цвета. На рис. 194 изображен пример требуемой раскраски.
Рис. 193 Рис. 194
Урок 8.6
8.33. Ответ. Наибольшее число красных ребер равно 3. Решение. Двенадцать ребер — это три четверки ребер с одним направлением. Поэтому более трех красных ребер быть не может. Пример, когда красных ребер три, легко найти (на кубе ABCDA1 B1 C1 D1 это ребра B, B1C1,
8.34. Ответ. Наибольшее число красных ребер — 3. Решение: Возьмем четыре грани (ABA1B1, ADA1D1, BB1C1, DC1D1). Все реб-
94
§8. Задачи с раскраской в условии
ра принадлежат объединению этих граней. Если есть два красных параллельных ребра, то их можно считать (с точностью до обозначений) ребрами AAi, Ci. Тогда третьему красному ребру нет места. Значит, параллельных красных ребер нет, а все красные ребра скрещиваются. Максимальное количество таких ребер — три.
8.35. Ответ. Наибольшее число красных ребер — 8. Решение. Вершин всего восемь, из каждой не более двух красных ребер, итого не более 16 красных ребер (но при этом каждое ребро посчитано дважды). Итак, всего не более восьми красных ребер. Пример, когда красных ребер ровно 8, легко построить (на кубе ABCDAiBiCiDi это ребра AB, AD, ВС, C1, DD1, A1B1, A1D1, B1C1).
8.36. Ответ. Наибольшее число красных ребер — 4. Пример, когда красных ребер ровно четыре: AB, CD, A1B1, C1D1 или AB, CD, A1C1, B1D1.
8.37. Ответ. Наибольшее число красных ребер равно 6. Решение. В каждой вершине (а их шесть) сходятся не менее двух черных ребер. Поэтому число черных ребер не менее 2 • 6, при этом каждое посчитано дважды. Поэтому черных ребер не менее шести, а красных не более шести. Приведем пример, когда красных ребер ровно шесть. Пусть октаэдр имеет две параллельные грани ABC, A1 B1 C1 . Стороны этих треугольников сделаем красными, остальные ребра черными.
8.38. Ответ. Наибольшее число красных ребер — 9. Возьмите (в обозначениях к решению задачи 8.37) черные ребра AB, B1C1, A1C, остальные — красные.
8.39. Решение. а) В каждой из шести вершин сходится не более двух красных ребер. Итого 12 красных ребер, но каждое посчитано дважды, так как соединяет две вершины. А 12: 2 = 6 (это ответ). Пример, когда красных ребер ровно шесть, см. на рис. 195. Красный цвет обозначен цифрой 1, черный — цифрой 2, синий — 3.
б) Наименьшее число красных ребер — 3. Оценка снизу получается аналогично оценке из задачи 8.37, но теперь красный и черный цвета надо поменять местами.
