Задачи на разрезание - Екимова М.А.
IS BN 5-94057-051-8
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 210 Рис. 211
8.50. Указание. Многогранники додекаэдр и икосаэдр двойственны друг другу. Поэтому достаточно решить задачу б). У каждой грани (пусть R) имеется 5 смежных граней. Число 5 нечетно, то есть для окраски этих пяти граней двух цветов не хватит, надо не менее трех цветов. Ни один из этих трех цветов нельзя использовать для окраски грани R. Поэтому общее число цветов не менее четырех. Ответ: 4. Пример на рис. 211 (невидимая грань ABCDEокрашена в серый цвет).
Рис. 212
Рис. 213
Ответы и решения
101
8.51. Указание. Многогранники додекаэдр и икосаэдр двойственны друг другу. Поэтому достаточно решить задачу а).
Легко показать, что любые две смежные грани окрашены по-разному. У данной грани (пусть A) имеется 5 смежных граней, итого 5 цветов, причем ни в один из них грань A не может быть окрашена. Итак, искомое число — не менее 6. Покажем на примере, что шести цветов достаточно. Ответ. 6. На рис. 212 приведен вид додекаэдра сверху (эскиз). При этом окрашены одинаково любые две грани, симметричные относительно центра додекаэдра.
8.52. Указание. В силу двойственности между додекаэдром и икосаэдром достаточно решить задачу а). У каждой грани икосаэдра имеется 3 смежных грани, так что потребуется не менее трех цветов. Начиная раскрашивать в три цвета, быстро обнаруживаем, что трех цветов не хватит. Ответ. 4. Пример приведен на рис. 213 (невидимая грань ABC окрашена в серый цвет).
Раздел 2
Факультативные задачи
§9. Превращение фигур Урок 9.1
9.1. Ответ. Нет, не хвастает (см. рис.214).
9.2. Ответ. Нет, не хвастает (см. рис.215).
Рис. 215
9.3. Решение. а) Проведем высоту (она же медиана, она же биссектриса. б) Общая вершина трех треугольников является центром описанной и вписанной окружности. в) Проведены три средних линии. г) Проведены все четыре высоты. д) Треугольник поделен на четыре части, как в случае (в), а потом каждый треугольник поделили еще на две части. е) Треугольник поделили на три части, как в (б), а потом каждый из трех треугольников поделили на четыре равных части, проведя три средних линии.
Ответы и решения
103
Рис. 217 Рис. 218
9.4. Ответ. См. рис. 217. /-1-\
9.5. Ответ. См. рис. 218. /
9.6. Ответ. См. рис. 219. \^ ^
9.7. Ответ. См. рис. 220. В случаях а) и б) прямоугольник разрезается одинаково, а части 1 и Рис. 219 2 складываются по-разному.
9.8. Ответ. См. рис.221.
В)
ч)
Рис. 220
104
§9. Превращение фигур
Б)
В)
Рис. 222
9.10. Ответ. Два варианта решения см. на рис.223.
\2/
Б)
Рис. 223
9.11. Ответ. На 4 части, см. рис. 224.
В)
Ответы и решения
105
Рис. 224
Урок 9.2
9.12. Ответ. См. рис.225.
Рис. 225 Рис. 226
9.13. Решение. По условию AP = BP = BN = CN = CM = DM = = DQ = AQ; углы A, B, C, D — прямые;
LAPQ + LBPL =180°, LAQP +L DQL =180°, LLNB + L LNC = 180°, LLMD + L LMC = 180°.
Поэтому четыре детали составляют равнобедренный треугольник
(рис. 226).
9.14. Ответ. См. рис.227.
9.15. Ответ. См. рис.228.
106
§9. Превращение фигур
Рис. 227 Рис. 228
9.16. Решение. Первый способ (принадлежит перу знаменитого персидского астронома Абул-Вефа, жившему в Багдаде в Х веке). На рис. 229 показано, как Абул-Вефа разрезал три одинаковых квадрата на 9 частей, из которых затем сложил один большой квадрат. Два квадрата он разрезал вдоль диагоналей, а четыре получившихся треугольника расположил вокруг неразрезанного квадрата. Еще четыре разреза (вдоль пунктирных линий) завершают решение.
D EA С
Рис. 230
Второй способ (принадлежит Генри Э. Дьюдени). На рис.230 показано как три квадрата разрезаются на 6 частей и из них складывается квадрат. Центр окружности находится в точке A. BC = DE = FK.
Ответы и решения
107
9.17. Ответ. См. рис.231.
Рис. 231 Рис. 232
Урок 9.3
9.18. Ответ. См. рис.232, MN — средняя линия треугольника ABC, а BHLMN.
9.19. Решение. Наложим квадрат ABCD (который нужно получить) на прямоугольник EFGHтак, как показано на рис. 233: вершины и F совместятся, а отрезок BC пойдет по отрезку FG. Проведем прямую AG, она пересечет отрезок CD в точке (DK = 40 см, KC = 20 см), а отрезок EH — в точке A'. Отрежем треугольник A1HG и передвинем его вдоль прямой AK так, что точка G перейдет в точку K, а треугольник A'HG — в треугольник ADK. Отрежем треугольник KCG и перенесем его на место треугольника AEA'. Из прямоугольника EFGH мы сложили квадрат ABCD, что и требовалось.
108
§9. Превращение фигур
H Ъ
,-к
G
С
Рис. 233
Рис. 234
9.20. Решение. Если a = p, то b = q, и перекраивать ничего не придется (аналогично, если a = q). Пусть a? <<??p. Если p — a ^ a (то есть p ^ 2a), то решение аналогично решению предыдущей задачи. А именно, сторону BC прямоугольника ABCD, где AB = b, AD = a, продолжим до отрезка BG, равного p (рис.234). Проведем прямую AG, которая пересечет отрезок CD в точке . Треугольник ADK передвинем вдоль прямой AG так, что точка K совместится с точкой G. Пусть точка A при этом перейдет в точку A'. Опустим перпендикуляр A1H из точки A' на отрезок AB. Отрежем треугольник AHA и перенесем его на место треугольника GCK. Получим прямоугольник размерами p X y, равновеликий прямоугольнику размерами a х b (который равновелик прямоугольнику p X q). Поэтому y = q, и задача решена.
