Задачи на разрезание - Екимова М.А.
IS BN 5-94057-051-8
Скачать (прямая ссылка):
8.40. Решение. а) Понятно, что красок понадобится не менее трех, так как в каждой вершине куба сходится по три ребра. Раскраску в три цвета см. на рис. 196.
б) Понятно, что красок понадобится не менее трех, так как в каждой вершине тетраэдра сходится по три ребра. Раскраску в три цвета
Ответы и решения
95
см. на рис. 197.
в) Понятно, что красок понадобится не менее четырех, так как в каждой вершине октаэдра сходится по четыре ребра. Раскраску в четыре цвета см. на рис. 198.
Рис. 195 Рис. 196
Рис. 197 Рис. 198
8.41. Решение. а) Каждая грань — треугольник. Если все стороны такого треугольника красные, то длина ломаной 3, а ломаная плоская. Если ломаная не лежит в одной плоскости, то у каждой грани не более двух красных ребер. Так как граней 4, то красных ребер не более 8, но при этом каждое ребро посчитано дважды (так как принадлежит двум граням). Итак, длина замкнутой ломаной — не более 4. Пример, когда длина ломаной ровно 4, приведен на рис. 199 (а). б) Расположим октаэдр так, что четыре вершины лежат в горизонтальной плоскости (плоскость экватора), еще две вершины — это северный и южный полюс. Поскольку ломаная замкнутая, то число красных наклонных ребер выше экватора четно и число красных ребер ниже экватора четно. Если красных ребер на экваторе 1 или 3 (а свободных концов у них 2), то наклонных красных ребер 2 (выше или ниже экватора). Если на экваторе два параллельных ребра, то может быть
96
§8. Задачи с раскраской в условии
два красных ребра выше экватора и два ниже. Длина ломаной равна 6 (рис. 199 (б)). в) Ответ: 8 (рис. 199 (в)).
Рис. 199
Урок 8.7
8.42. Ответ. 18. Решение. В каждой из 12 вершин сходятся не более трех красных ребер. Итого 36, но при этом каждое ребро посчитано дважды (оно соединяет две вершины). Поэтому возможно не более 18 красных ребер. Пример, когда красных ребер ровно 18, приведен на рис.200 (красные ребра показаны жирными линиями).
Рис. 200 Рис. 201
8.43. Ответ. 15. Решение. а) Легко видеть, что любые два соседних ребра разных цветов. У каждого ребра 8 соседей. Итого не менее девяти цветов. Окрасив ребро OA (рис.201) цветом 1, раскрасим всех
Ответы и решения
97
его соседей. Ясно, что ребро EC не может быть окрашено ни в один из этих девяти цветов. Проводя аналогичные рассуждения, получаем, что уже окрашенные ребра и ребра EC, BC, CD, JI, IH, IG требуют не менее 15 цветов. Центрально симметричные ребра окрашены одинаково.
б) У каждого ребра (пусть A) соседи (их 4) разных цветов. В вершине сходятся 3 ребра, так что любые два ребра, имеющие общую вершину, окрашены по-разному. Итак, искомое число цветов не менее 5 (цвет ребра A и еще 4 цвета его соседей). Покажем на примере, что пяти цветов достаточно — см. рис. 202.
8.44. Ответ на первый вопрос: 12. В каждой из 12 вершин сходится не более трех белых граней, итого 36. При этом каждая грань посчитана трижды, так как соединяет три вершины. Всего не более 12 белых граней. На рис. 203 приведен пример, когда белых граней ровно 12 (невидимая грань ABC белая). Ответ на второй вопрос: 4.
8.45. Ответ на первый вопрос: 8. В каждой вершине сходятся не более двух красных граней (а вершин 12). Итого не более 24 граней, причем каждая грань соединяет 3 вершины, так что посчитана трижды. Поэтому всего не более 8 красных граней. Пример, когда красных граней как раз 8, приведен на рис. 204. (Красные грани обозначены серым цветом, синие — штриховкой. Невидимая грань ABC черная). Ответ на второй вопрос: 4.
8.46. Ответ. 6. Решение. Рассмотрим одну красную грань и пять ее «соседок» (рис.205, эскиз вида додекаэдра сверху). Если из пяти
С
Рис. 202
Рис. 203
98
§8. Задачи с раскраской в условии
«соседок» две подряд красные, то в одной вершине сходятся три красных грани вопреки условию. Следовательно, не менее трех из пяти «соседок» — черные грани. И не менее трех черных граней на виде снизу. Итого не менее 6 черных и не более 6 красных граней. Пример, когда красных граней ровно 6, приведен на рис. 206 (красные грани изображены серым цветом; невидимая грань ABCDE красная).
А
Рис. 205 Рис. 206
8.47. Ответ. 12. Решение. В каждой из 12 вершин сходится не более трех красных граней. Итого 36 красных граней, причем каждая посчитана трижды; а 36 : 3 = 12. Пример, когда красных граней как
Ответы и решения
99
раз 12, приведен на рис. 207 (красные грани изображены серым цветом; невидимая грань ABCокрашена в черный цвет).
А
Рис. 207
8.48. а) Указание. Каждая вершина принадлежит, самое большее, 4 красным граням. Поэтому черных граней не менее четырех. Ответ. Наибольшее число красных граней — 12 (рис. 208; красные грани изображены серым цветом; невидимая грань ABC тоже красная).
б) Ответ. 6 (рис. 209; красные грани изображены серым цветом; невидимая грань ABCDE тоже красная).
Рис. 208 Рис. 209
8.49. Указание. Многогранники додекаэдр и икосаэдр двойственны друг другу. Поэтому достаточно решить задачу б). Пять граней икосаэдра имеют общую вершину. Поскольку число 5 нечетно, то двух
100
§8. Задачи с раскраской в условии
цветов не хватит. Ответ: 3. Пример приведен на рис. 210 (невидимая грань ABCокрашена в черный цвет).
