Методы и объекты сейсмических исследований. Введение в общую сейсмологию - Пузырев Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Выше рассматривались только волны, испытавшие один акт отражения на глубинной границе (однократные волны), но даже в простейшей модели слоя на полупространстве будут существовать волны, претерпевшие отражения как на глубинной границе, так и на поверхности земля—воздух. Обычно такие волны называются полнократными. Если обе границы параллельны друг другу, то в случае нормального падения коэффициент отражения для кратной волны и-го порядка равен Af) -- (AJ0')", где Af^ — коэффициент отражения однократной волны. Число и равно количеству отражений от глубинной границы. Когда перепад скоростей и плотностей на границе относительно невелик, то Ап0) быстро уменьшается с возрастанием порядка кратности.
Кроме полнократных выделяют класс частично кратных волн, когда имеет место внутрислойное отражение. В многослойной среде может существовать очень большое многообразие волн такого типа, если даже ограничиться монотипными волнами. Характер их проявления на сейсмограммах будет существенно зависеть от мощности слоев, в частности одного слоя, лежащего внутри полупростран-
49
Часть I. Общие вопросы теории и методики
ства. Если мощность такого слоя велика, то импульсы отражений от каждой из границ будут разделены и можно наблюдать каждую из кратных волн изолированно. При мощности слоя меньше длины волны однократные и кратные волны в слое суммируются с относительно малыми временными сдвигами, в результате чего изменяется форма импульса без разделения его на отдельные сигналы. Такая модель тонкого слоя ниже будет рассмотрена достаточно подробно. Сейчас укажем, что в промежуточном случае полутонкого слоя, когда мощность его сравнима с длиной волны, внутрислой-ные кратные волны могут при своем наложении на однократные образовывать суммарные сигналы сложной формы.
Приведем теперь вывод основных соотношений для тонкого слоя при нормальном падении плоской волны.
Пусть тонкий слой с постоянной мощностью А, сравнимой с длиной волны, и параметрами vv р2, находится между двумя полупространствами, имеющими константы U11P1 и и3, ру Положим, что плоская волна, фронт которой параллелен границам раздела, падает со стороны первой среды.
Приводимое ниже решение задачи отражения от тонкого слоя правомерно как для P-, так и для 5-волн, что следует из (1.27)—(1.31).
Особенность волнового процесса в данной модели среды состоит в том, что в тонком слое образуются отраженные волны различной кратности, которые накладываются с временными сдвигами на однократные отражения от верхней и нижней границ слоя.
Пусть падающая волна представляет собой синусоидальное колебание с заданной частотой
со = 2л/ и единичной амплитудой. Через к2 обозначим волновое число в слое: к2 = = j-, где
X2 — длина волны в слое.
Поскольку начальная амплитуда волны равна единице, то при расчете суммарных колебаний можно непосредственно оперировать коэффициентами отражения и прохождения.
Коэффициентам А и В придадим индексы, соответствующие индексам контактирующих сред с учетом направлений лучей.
Синусоидальная волна единичной амплитуды записывается в виде U = ехр (ішпт), где т — время пробега в тонком слое в одном направлении, п — количество путей. Поскольку т = k2hloi, то под знаком экспоненты будем рассматривать величину ink2h.
Считая количество кратных волн в слое бесконечным, коэффициент отражения от тонкого слоя можем записать в виде ряда
Об
A = A12 + B12B21A32 ехр (Hk2K) ^ \А12А32 ехр (2i/fc2A)J". (3.8)
Под знаком суммы имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем Q = A12A32 ехр (2ik2h). Следовательно, вместо суммы в (3.8) запишется 1/(1 - Q). С учетом этого, принимая во внимание, что согласно (1.29) B12 = I+ A12, B21-I- A21, и учитывая очевидное равенство A12 - -A21, получим после преобразований выражение
= A21+A32 ехр (2ik2h) 1 +A21A32 ехр (2ікфУ
Вычислим теперь модуль комплексного коэффициента отражения по правилам, указанным в гл. 1. Имея в виду, что ехр (Hk2H) - cos (2k2h) + і sin (2k2h), выражая коэффициенты отражения через
следующее выражение для модуля коэффициента отражения от тонкого слоя:
3 * 3 ?
Qn = путем преобразования формул типа (1.27) и замены к2 через A2, получим
1/2
(Q12Q32 + I)2 + (<712 + <732)2 Ctg2 (2XhZX2)
В частном случае, когда P1U1 ~~р3и3> оно приобретает более простой вид:
(3.10)
A =_в" 1_ (ЗП)
[(^+l^ + ^jctg2 (2^AA2)]1/2"
Таким образом,„коэффициент отражения от тонкого слоя представляет собой периодическую функцию величины А/Д2 с периодом hlX = 1/2.
50
Глава 3. Классы и типы упругих волн
Максимальное и минимальное значения коэффициента отражения определяются выражениями
Лпах -
$12?
-1
«12«32
+ I
«12 - «32
'12
Представляет интерес частный случай тонкого слоя, расположенного на поверхности земли, когда V3 и р3 можно положить равными нулю. Тогда в формуле (3.9) A32 - 0, а в (3.10) д32 т 0.
В случае нормального падения на тонкий слой импульсной волны приведенные выше формулы следует применять для каждой из составляющих спектра с учетом соответствующих временных сдвигов. Эти операции можно реализовать только при использовании компьютеров.
