Общая химия. Избранные главы - Вольхин В.В.
ISBN 5-88151-282-0
Скачать (прямая ссылка):
de = с'-dt, где с' - производная функции.
Отсюда следует, что дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента. Иными словами: дифференциал функции равен тому приращению, которое получила бы эта функция, если бы на участке от х до х + dx (в нашем случае от / до / + dt) она изменялась с постоянной скоростью, такой как в точке /.
Из соотношения (== de
° DT
следует, что производная функции представляет собой отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного (аргумента).
Применение дифференциального исчисления к изучению какого-либо процесса заключается в том, что последний разбивают на ряд коротких процессов, каждый из которых можно принять как протекающий равномерно, и при этом приращение функции заменяют ее дифференциалом.
Ниже приведен ряд важных производных и дифференциалов.
Производная: Дифференциал:
Постоянная величина С.
»=0. dC = 0.
Функция^ = С-и{х), где С - постоянная величина.
d(C-u)/dx = C-duldx. d(C-u) = C-Au.
Алгебраическая сумма и + и, где и и и- функции отд:.
d(w + u)/dx = du/dx + du/dx. d(u + v) = du + du.
Произведение и-и, где и и и- функции отд:.
d(u-u)/dx = u-duldx + u-duldx. d(uu) = ti-du +u-du. Частное и/и, где и и и - функции от*.
d(u/u)dx =---------. d(ii/u) = —du —- • du.
u de и dx ou
Логарифмы In и и In x:
d(Inw) l du ч du
d(ln IT) =
dx и dx
и
dQnjQ I dx
—-— = —. d(Inx)=—.
de x x
Степенная функция^ = x" и показательные функции у = ё , у = а (при а> 0 и а * 1),
dx ldx = n-x , d(x) = n-x -dx,
de /dx =e , d(e"v) = e"V-dc,
dCv/dc = <f\n С (приО0,С*1). d(C*) = C*ln C-dc (при O 0, СФ 1).
Частные производные. Необходимость в них возникает в тех случаях, когда функция зависит более чем от одной переменной. Например и =?,x,y).
326
B.B. Вольхин. Общая химия
Выражение полного дифференциала
характеризует изменение функции du, когда х изменяется на dx и у изменяется на dy.
Частная производная (—) выражает скорость, с которой изменяется г/ с изменением х
\дх)у
при постоянной у, а I — I - скорость, с которой изменяется и с изменением;' при постоянной х.
\д>'),-
Интегралы. Вычисление интеграла сводится к разысканию функции по данному выражению ее дифференциала. Если функция Дх) есть производная от функции F(x) или ?,x)dx есть дифференциал от функции F(x), т.е. j{x)dx - dF(x), то функция F(x) называется первообразной для функции /(а*).
Неопределенным интегралом выражения flx)dx или функции flx) называется общий вид ее первообразной функции. Неопределенный интеграл выражения /(x)dx обозначается {/(x)dx = F(x) + C1
где J{x)dx называется подынтегральным выражением, функция 7(х) - подынтегральной функцией, переменная х - переменной интегрирования; С - произвольная постоянная интегрирования. Интегрирование заключается в отыскании неопределенного интеграла данной функции.
Из каждой формулы дифференцирования при ее обращении получается соответствующая формула интегрирования. Готовые решения представляются в форме таблиц интегралов. В химии используются некоторые простые интегралы:
{dx = х -I- C1 Lx -dx =--h С при /7+1 Ф О,
(/7 + 1)
— = In X + С , JcA <1х = еЛ + С,
\а -dx - —--1- С (при а > 0, а Ф 1),
\па
где С - постоянная интегрирования.
Определенный интеграл от неотрицательной непрерывной на [а, в] функции по конечному промежутку [а, в] есть площадь, ограниченная графиком интегрируемой функции и расположенная между этим графиком и осью х и вертикальными прямыми, проведенными через точки х = а и х = в, называемые пределами интегрирования. Определенный интеграл обозначается как
Jy-(X)CIX,
т.е. интеграл в пределах от а до в, где а - нижний предел, в - верхний предел. Примеры численного интегрирования обсуждаются в специальных руководствах. Некоторые наиболее часто встречающиеся в химических расчетах определенные интегралы (при P > О, У> О, Т> 0) приведены ниже:
J PdV = PJ CLK = P(K2 -K1),
где P- постоянная;
)~C)F -СВД/Г,).
T1 1 T1 1
T T .
JCT-OT = C JT-UTS* C-T1, о о ^
где С - постоянная;
Приложения
327
i T2 I4 T1) T1 ?T2
)(a + вТ + сТ2 W = a(T2 -T1) + ?- (T22 - Tf) + \(T\ - T] ), r, 2 3
где а, в и с - постоянные.
Ряды. При выполнении расчетов в области химии нередко применяют представления функций в виде рядов. Такой путь позволяет значительно упростить функцию. Чтобы представить функцию с необходимой точностью, в некоторых областях изменения переменной достаточно бывает взять только один или два члена ряда. Но это возможно лишь в определенных случаях.
Не имея возможности обсуждать виды и свойства рядов, отметим, что ряды представляют интерес для определенной области изменения переменных, называемой областью сходимости ряда. Практически важно, чтобы ряд сходился быстро и остаток ряда (его сумма за исключением небольшого числа первых членов) становился меньше допустимой погрешности. Будем исходить из того, что соответствующий анализ выполнен и приведенные в книге примеры использования сходящихся рядов при решении задач вполне корректны. Поэтому ограничимся лишь упоминанием использованных при расчетах рядов.
