Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
2. Если такое сопоставление может быть осуществлено, то как можно
проанализировать структуру изучаемого пространства, чтобы получить
информацию о молекуле?
Ответ на первый вопрос является утвердительным и основывается на близкой
взаимосвязи между конечными топологическими пространствами и
транзитивными направленными графами, тогда как ответ на второй вопрос
основывается на вышеупомянутых комбинаторных структурах этих пространств.
Конечно, существует ряд очень сложных химически важных вопросов, для
которых не следует ожидать, что топология будет к ним применима.
Например; стереоизомерия по своей сути нетопо-логична. Кроме того,
поскольку точки топологического пространства, которые будут взяты для
представления атомов молекулы, неразличимы друг от друга, химическая
идентичность атомов может не играть никакой роли в топологическом
описании структуры. Ввиду этого в данной статье обсуждение будет
проводиться исходя из углеродного скелета углеводородов.
2. КОНЕЧНАЯ ТОПОЛОГИЯ
2.1. ГРАФ ТОПОЛОГИИ
Применение топологии для изучения молекулярной структуры основывается на
близкой взаимосвязи между конечными топологическими пространствами и
транзитивными диграфами [1]. В частности, диграф D(.y ) пространства (X,
./) имеет множество вершин X
Топология конечного точечного множества
13
и (р, д) е E(D) тогда и только тогда, когда каждое открытое множество ¦/,
содержащеер, содержит также и д. Если Лр+ - множество вершин, смежных ср
в диграфеD, то множествоВр = [р\ U U А+ является единственным минимальным
открытым множеством, содержащим р, и семейство (3 = [Вр\р е X] является
базисом для .X. Если Вр D Bq, то каждое открытое множество, содержащее/?,
содержит также и д, и (р, д) е E(D), т.е. D выражает соотношения
включения между элементами (3. Поскольку включение множеств транзитивно,
Е>(Х) обязательно является транзитивным диграфом. Ненаправленный граф
G(.X), на котором строится
D(. X), называется графом топологии.
Пример. Для топологии на X = (1, 2, 3, 4)
,Х = (0, 1, 3, 13, 34, 123, 134, X)
мы имеем
В, = {1), В2 = (123), В3 = [3), В4 = {34).
Таким образом,
1 2 3 4 1 2 3 4
?>(.Х) = .<">"<" , G(X) =--•-•-•-•
Из этого метода построения ?>(.Х) ясна его единственность, и связь X ~
D(.X) полностью обратима, что означает взаимно однозначное соответствие
между топологиями на п точках и диграфами на п вершинах. Однако, так как
молекулярные структуры естественно представлять графами, а не диграфами,
ключевым вопросом является связь между X и G(.X), т.е. какому числу
различных топологий соответствует произвольный граф. Ответ, конечно,
определяется числом возможных транзитивных ориентаций графа G. Ситуация
особенно упрощается для двудольных графов (альтернант-ных - на языке
теории молекулярных орбиталей), которые имеют точно две транзитивные
ориентации, противоположные друг другу. Так, если двумя множествами
вершин двудольного графа являются К, и У2, тривиально транзитивны как
ориентация, в которой каждое ребро направлено от К, к У2, так и
противоположная ей, поскольку они не содержат конфигурации •-"-
Пример. Двудольный граф
12 3 4
G: •---•-------"------•
имеет две транзитивные ориентации *
D- • <•>"<• , D'- " > • " • > •
* К, = 11, 3), V2 = 12, 4). - Прим. перев.
14
Р. Меррифилд, X. Симмонс
которые соответствуют топологиям
•Х= 10, 1, 3, 13 , 34, 123, 134, 1234), У = 10 , 2, 4, 12, 24, 124, 234,
1234).
Как показывает этот пример, две топологии, полученные на основе
двудольного графа, имеют особую взаимосвязь, а именно открытые множества
одной являются замкнутыми множествами другой. В конечном пространстве
замкнутые множества также образуют топологию, называемую котопологией У*,
связанную соотношением D( X*) = D' (¦/). Таким образом, для двудольных
графов мы имеем полностью обратимую схему:
т. е. каждому двудольному графу соответствует единственная пара
топология/котопология. Любое из этих пространств называется графовой
топологией графа G.
Для недвудольных графов ситуация не является столь простой, поскольку
произвольно выбранный такой граф может иметь несколько транзитивных
ориентаций или не иметь их вообще. К счастью, метод, который будет описан
позже, дает возможность рассматривать молекулы, структуры которых
соответствуют недвудольным графам (неальтернантным), основываясь на
топологических пространствах, графы которых являются двудольными. Таким
образом, остальная часть настоящей статьи будет посвящена только этому
типу пространства.
2.2. КАЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРАФОВОЙ ТОПОЛОГИИ
Связность. Имеется хорошее соответствие между графовым и топологическим
представлениями связности. Топологическое пространство (X, /) называется
несвязным, если оно может быть записано как объединение непересекающихся
непустых открытых множеств X = U,2^, a X, называют компонентами
пространства. Положим р е X, и д ? Х2. Тогда Вр с X, и Bq С Х2, поэтому
Вр и Bq несравнимы, и, следовательно, G{/) не содержит ребер, соединяющих
