Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
скелеты углеводородов или, в более общем случае, гомоядерные скелеты,
являются простыми графами или мультиграфами [21] в зависимости от
выбранного нами способа представления кратных связей. Графы, изображающие
гетеросистемы, являются вершинно-и реберно-взвешенными (мульти)графами
[22, 23]. Графы, представляющие гомоядерные скелеты, называются иногда
однородными графами [23а], а вершинно- и реберно-взвешенные графы -
неоднородными [23а]. В настоящей работе мы будем рассматривать вершинно-
и реберно-взвешенные графы, которые, конечно, сводятся к обычным графам,
когда весовые коэффициенты вершин и ребер отсутствуют.
2. ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ МАТРИЦЕЙ СМЕЖНОСТИ И МАТРИЦЕЙ РАССТОЯНИЙ
Общеизвестно, что молекулярные графы (молекулы) можно удобно представить
с помощью топологических матриц [2, 21, 24]. В связи с этим особенно
важны две матрицы [2, 24]: матрица смежности А = A(G) графа G и матрица
расстояний D - D(G) графа G.
* См. обзор Руврэ в этой книге. - Прим. перев.
Матрица расстояний для гетероатомных молекул
261
Матрица смежности - наиболее широко используемая матрица для
характеристики графа [2, 21, 22, 24-26]. Ее элементы (А )и = О и (А) = (
А )л = 1. Единица появляется всегда, если вершины i и j связаны между
собой. Матрица расстояний также является симметричней матрицей с
элементами (D)lt = dn ~ 0 и (?))у = (D)jt = dtJ, где dtJ - число ребер
(связей) в наикратчайшей цепи между вершинами (атомами) / и j.
Матрица расстояний вб многих случаях более информативна, чем матрица
смежности, которая может рассматриваться как частный случай матрицы
расстояний, содержащей лишь расстояния, равные 1. Тем не менее для
полного графа матрица смежности и матрица расстояний тождественны. (В
полном графе, обозначаемом как Kv, любая пара его вершин v смежна [21].)
Следовательно, матрица расстояний может быть записана в виде
D(0,l) = А(0, 1) + ? 5(0,/), (1)
1=2
где 5(0, /) - матрицы, содержащие в качестве элементов только один тип
расстояний /, тогда как L - максимальное топологическое расстояние в
графе G. Указанное выше соотношение для полного графа, очевидно, сводится
к
D(Kv) = A(Kv). (2)
3. МАТРИЦА РАССТОЯНИЙ ДЛЯ ГЕТЕРОСИСТЕМ
Обе матрицы - матрица расстояний и матрица смежности - в их обычных
формулировках [2, 21, 24] ограничены в том смысле, что не могут быть
использованы для молекул с кратными связями и/или гетероатомами. Однако
определение матрицы смежности может быть расширено [2, 23, 27-32] для
того, чтобы охватить все возможные (химические) структуры. Попытки
осуществить это для матрицы расстояний до сих пор были довольно редкими
[18, 33]. Важный шаг в этом направлении был предпринят Балабаном [1] для
мультиграфов. Он предложил ввести в матрицу расстояний дробное число а/b
для связи /-j с порядком связи Ь. Поскольку Балабан рассматривал только
ненасыщенные и ароматические углеводороды, для первых из них константа а
имела значение 1, а для последних - соответственно 2. Таким образом,
величина а/Ъ принимает значения: 1/2 для атомов углерода, соединенных
двойной связью, 1/3 для атомов углерода, соединенных тройной связью, и
2/3 для ароматических связей.
262 М. Бариш, Дж. Яшари, Р. Лалл, В. Шривастава, Н. Тринайстич
Определение Балабаном матрицы расстояний не является достаточно общим,
поскольку не включает молекул с гетероатомами. Ввиду этого в настоящей
работе мы предлагаем довольно общее определение для элементов матрицы
расстояний, которое охватывает вершинно- и реберно-взвешенные мультиграфы
Gvew, т.е. молекулы с кратными связями и гетероатомами.
Наличие в Gvew весовых коэффициентов влияет на элементы соответствующей
матрицы расстояний. Так, например, диагональные элементы G(Gvew),
соответствующие вершинам с петлей, больше не обращаются в нуль.
Аналогично недиагональные элементы должны включать веса ребер в цепях.
Веса гетероатомов (взвешенные вершины) и гетеросвязей (взвешенные ребра)
могут аппроксимироваться при применении параметров, используемых в методе
Хюкке-ля [34] для гетеросистем [18, 33]; кроме того, можно разработать и
иную схему.
В этой работе мы предлагаем следующий метод. Мы определяем диагональные
элементы матрицы расстояний для вершинно- и реберно-взвешенных
(мульти)графов следующим образом:
где Z( - число всех электронов (валентных и электронов внутренних
оболочек) атома /. В табл. 1 приведены значения du, которые мы предлагаем
использовать для атомов, наиболее распространенных в органических и
биоорганических молекулах.
ТАБЛИЦА 1. Значения du для атомов, наиболее распространенных в
органических и биоорганических соединениях
J Атом I d Атом I
п и
О, Углерод 0,333 Фтор
0,143 Азот 0,647 Хлор
0,25 Кислород 0,6 Фосфор
0,625 Сера
Недиагональные элементы матрицы расстояний для вершинно-и реберно-
взвешенных (мульти)графов определяются как
du = I (4)
г
где суммирование проводится по г (г - 1,2,...) взвешенным и не-
Матрицадзасстояиий для гетероатомных молекул
263
взвешенным связям, причем параметр кг определяется соотношением
