Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
модель молекулярной сложности ведет себя именно так, как предполагалось
первоначально, будет тестировано ее поведение для некоторых
гомологических рядов, включающих все различные характеристики сложности.
Примером простейшей формы гомологии являются н-алканы; однако обсуждение
н-алканов по соображениям логики будет отложено до обсуждения
разветвленности. Весьма близки к ним цикло-алканы (графы Сп), которые
можно получить (по крайней мере концептуально) соединением концов
соответствующих молекул н-алканов. Ввиду наличия для циклоалканов оси
симметрии л-го по-
246
С. Бертц
ТАБЛИЦА 1. Сложности циклоалканов (С")
п П 10g2/) п П 10g2fl п П i0g2 п П log2 tl п
П 10g2/l п П IOg2П п П 10g2" п п log2n
3 4,75489 15 58,6034 27 128,382 39 206,131 51
289,294 63 376,569 75 467,161 87 560,536
4 8,00000 16 64,0000 28 134,606 40 212,877 52
296,423 64 384,000 76 474,842 88 568,430
5 11,6096 17 69,4869 29 140,881 41 219,660 53
303,580 65 391,454 77 482,543 89 596,340
6 15,5098 18 75,0587 30 147,207 42 226,477 54
310,764 66 398,930 78 490,261 90 584,267
7 19,6515 19 80,7106 31 153,580 43 233,329 55
317,975 67 406,428 79 497,999 91 592,209
8 24,0000 20 86,4386 3? 160,000 44 240,215 56
325,212 68 413,947 80 505,754 92 600,168
9 28,5293 21 92,23871 33 166,465 45 247,133 57
332,475 69 421,488 81 513,528 93 608,142
10 33,2193 22 98,1075 34 172,974 46 254,084 58
339,763 70 429,050 82 521,319 94 616,131
11 38,0537 23 104,042 35 179,525 47 261,066 59
347,076 71 436,632 83 529,128 95 624,136
12 43,0196 24 110,039 36 186,117 48 268,078 60
354,413 72 444,235 84 536,955 96 632,156
13 48,1057 25 116,096 37 192,750 49 275,121 61
361,775 73 451,857 85 544,798 97 640,192
14 53,3030 26 122,211 38 199,421 50 282,193 62
369,160 74 459,500 86 552,659 98 648,242
рядка формула для С (г?) в случае циклоалканов редуцируется до
С(циклоалканы) = п lo^ п; таким образом, табл. 1 оказывается также
полезной, предоставляя эти значения для других расчетов.
В табл. 2 представлены прогрессия звездных графов и их индексы. Эта
таблица дает величины г) для вершин различной степени, которые были
рассчитаны с использованием уравнения (1). Углеродные атомы имеют г} = 0
(первичные), 1 (вторичные), 3 (третичные) или 6 (четвертичные). Комплексы
переходных металлов обычно имеют также г? = 10 (тригонально-
бипирамидальные структуры или структуры в виде квадратной пирамиды) или
15 (октаэдрические).
Разветвленные алканы можно представить себе как совокупности различных
звезд с d < 4. Отдельные индексы для алканов (до
ТАБЛИЦА 2. Звездные графы
звезда v С (7) Звезда v С\П)
- 0 - X 6 15,51
А , 0 НС ю зз, гг
Л 3 4,755 Ж 15 58,60
Математическая модель молекулярной сложности 247
ТАБЛИЦА 3. Графы алканов С,-С,
I О
граф I X IV fw Z <0
о • 0 - - 0 - 1 2
Ь - 0 - 1,00 1 0 2 3
с 1. 0 1,41 4 1,50 3 5
d 2 2,0 1.91 10 245 5 8
е Л 3 4,8 1,73 9 2,50 4 9
f ?V\ 3 7,5 241 20 3,15 8 13
8 X/ 4 1-4,0 2,27 18 ,3,20 7 14
h X 6 15,5 2,00 16 3,25 5 17
i 4 12,0 2,91 35 3,70 13 21
j 5 19,2 2J81 31 3,76 12 22
к 5 21,2 2,77 32 3,74 11 23
I X 6 21,0 2,64 29 3,79 10 24
т X/ 7 29,8 2,56 28 3,80 9 26
гексана включительно) ([18] и литература, цитированная там) перечислены в
табл. 3. На основании данных табл. 3 можно выявить два типа гомологии,
связанные с увеличением длины цепи (этан, пропан, н-бутан, н-пентан, н-
гексан и т. д.) и разветвленности в вершине (например, метан, этан,
пропан, 2-метилпропан, 2,2-диметилпропан, т.е. звездные графы). Другой
важный аспект результатов, представленных в табл. 3, состоит в поведении
индексов в пределах данного набора изомеров (графы с одинаковым числом
вершин). Как г? и С(у), другие индексы увеличиваются с ростом длины цепи
и разветвленности в вершине; однако х. w и Z уменьшаются при увеличении
разветвленности -в пределах данного набора изомеров. (Индекс х - функция
степеней вершин, w - функция расстояний между вершинами и Z - функция
множеств несмежных линий; более точные определения см. в [18].) Индекс
Херндона [уравнение (5)] упорядочивает изомеры пентана (g > / > h) [28],
248
С. Бертц
ТАБЛИЦА 4. Влияние циклизации
Гроф 2 Cfgi X w fw IV Z 6
• U 2 2j0 1.91 10 2?5 5 8
4 8,0 2,00 8 2J50 7 7
' и .5 15,2 1,89 8 2,50 6 8
- и е 32,0 1,97 7 2,52 8 6
' м 12 43,0 2)10 6 2,58 10 5
но это упорядочивание отличается от упорядочивания, определяемого всеми
другими индексами, независимо от того, увеличиваются ли их величины или
уменьшаются.
Влияние циклизации иллюстрируется данными, приведенными в табл. 4,
которые были рассчитаны для С4-углеводородов: бутана, циклобутана,
метилциклопропана, бициклобутана и тетраэдрана. В пределах этого ряда w
вновь увеличивается, тогда как х не обнаруживает последовательности
изменения. В противоположность случаю ациклических изомеров Z в настоящем
примере, как правило, увеличивается, хотя в каяСдом случае один изомер
является, по-видимому, лишним. (Индекс а является функцией множеств
несмежных вершин; см. [1].) Поскольку цикличность (т.е. число циклов для
