Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ем" + и' = ф' (х), е > 0, 0 ^ х < 1, (А1.52)
с граничными условиями
м (0; е) = 0, м (1; е) = 1, ^ (А1.53)
где ф (х)-заданная бесконечно дифференцируемая функция от х. Мы хотим
найти равномерное асимптотическое разложение при е -* 0. Этот пример взят
из введения в методы сингулярных возмущений, принадлежащего Эрдейи
(1961). Он иллюстрирует основные моменты процедуры сращивания без
ненужной алгебраической сложности уравнения общего вида.
В этом примере (учитывая также наш опыт с однородным уравнением из разд.
А1.2) представляется целесообразным принять Ф"(е) в виде е". Если
асимптотическая последовательность должна быть иной, это выяснится в ходе
анализа.
Внешнее разложение ищется в виде
¦N
ц(х;е)~ ? е"м"(х), е -" 0, (А1.54)
п = о
что после подстановки в (А1.52) и приравнивания коэффициентов при
соответствующих степенях е дает
Мо = ф', м', = -и'д, ...,м'"= -u"_i,.... (А1.55)
При решении этих уравнений мы, как и ранее, не можем исходить из обоих
граничных условий (А 1.53), поскольку это уравнения первого порядка. Если
задача возникла из описания реального мира, то обычно физическая ситуация
подсказывает, какое из граничных условий нужно взять для внешнего
решения. В отсутствие такой информации все решает, конечно, метод проб и
ошибок. Для некоторых классов уравнений имеются общие методы, но они не
являются универсальными. В рассматриваемом примере метод проб и ошибок
показывает, что следует использовать для (А1.55) граничное условие в
точке х = 1. Фактически мы уже провели такой анализ в разд. А1.2, где
показали, что граничное условие в точке х = 0 было не пригодно для
соответствующего однородного уравнения (рис. А1.1). Поэтому для внешнего
разложения, полученного из (А1.55), воспользуемся вторым условием
(А1.53), т.е.
320
Приложение 1
потребуем
мо(1) = 1, Ч.М1) = °-
(А 1.56)
Интегрирование (А1.55) с учетом (А 1.56) дает и0 (х) = 1 + ф(х) - М),
ип(х) = (-1Г[М'М - ф<я>(1)], п > 1,
где ММ) обозначает п-ю производную, т.е. внешнее разложение до членов
порядка zN имеет вид
N
н (х; е) ~ 1 + ? ?"(-!)" [М'М -'l'1"1)!)]. е - 0. (А1.57)
Вообще говоря, это разложение не является равномерно пригодным ни в точке
х = 0, ни в ее непосредственной окрестности.
Вблизи х = 0 мы имеем внутреннее разложение. Соответствующим
преобразованием (А1.43) является \ = х/ес, где с должно быть определено
так, чтобы преобразованное уравнение (А1.52) при внутреннем предельном
переходе (А1.44) сохраняло член наиболее высокого (т.е. второго) порядка
исходного уравнения. Уравнение (А 1.52) после преобразования принимает
вид
Предположим, мы выберем с > 1; тогда в пределе е -> 0 при фиксированном
?, последнее уравнение принимает вид ~ 0 и не может удовлетворять
граничному условию и = 0 при Е, = 0 (х = 0) и переходить во внешнее
решение при Е, -> оо. Но если с < 1, то в уравнении не остается члена
наивысшего порядка при е -> 0. Таким образом, единственным приемлемым
значением является с = 1, что, конечно, совпадает со значением,
использованным нами в разд. А1.2. Тогда получаем следующее уравнение для
внутреннего разложения, полагая в последнем уравнении с = 1:
е1 2си^ + ? СЩ = ф' (е%).
+ Щ, = 8ХК (8^)> ? =' Vе-
(А1.58)
Теперь будем искать внутреннее разложение (А1.45) в форме
N
и (х; е) ~ ? е"мий), е -" 0,
(А 1.59)
и = О
что после подстановки в (А 1.58) дает рекуррентные уравнения
Приложение 1
321
поскольку
JfW(0)
ex)/' (е?,) = еф'(0) + e2xl/"(0)?, + ... + е"-р---Д-" 1 + е - 0.
(и - 1)!
Интегрирование уравнений (А 1.60) и использование граничного условия в
точке ? = 0, т. е. х = 0, в силу которого ип (0) = 0 для всех п > 0, дает
й0 = а0(1 - е~% щ = at (1 - е~^) + \)/' (0)...
(А1.61)
= 0,(1- е~Ь) + (- 1)"\|/(п)(0) ? и ^ 2,
к = 1 К'
где а" (п ^ 0)- константы, на этой стадии неопределенные. Таким образом,
внутреннее разложение имеет вид
N N
? а"е" (1 - е-5) + ? еЧ(п)(0)
" ( _ 11" - к к' ^
Ir = 1 & I
(А 1.62)
Хотя нам ничего не известно об области перекрытия, мы теперь допустим ее
существование и проведем сращивание внутреннего и внешнего разложений до
(N + 1)-го члена. Для этого введем промежуточную переменную хе по
(А1.49), т.е. в нашем примере такую, что
х = Р(е)хр, 1 =
Р(е)
Ср , 8 " Р (8) " 1.
(А 1.63)
Здесь р зависит также от N, но для удобства эта зависимость не
отмечается. Запишем теперь внутреннее и внешнее разложения ((А1.62) и
(А1.57) соответственно) через переменную х(1, затем проведем разложение и
перегруппировку членов, имея в виду, что е -> 0, Р(е) -> 0 и р(е)/е ->
оо. Согласно (А1.57), внешнее разложение с учетом (А1.63) принимает вид
N N
X е-иДх) = 1 + Z е"(- 1)" [ФСп) (Р (е)Хр) - \|/(п)(1)] =
п = 0
N
= 1 + ? е" (- iy [х|г*"> (0) - х|/(п)(1)] +
(А1.64)
+ ? е"(- !)" ? v)/(m + и)(0)
п = О т = 1
Рт(8)
21-612
322
Приложение 1
Внутреннее разложение находится из (А1.62) с учетом (А1.63): ? е-н"(9= ?
в-Ч[1-е-',wv*] +
+ ? e"t(n)(0)
И ~ 1
I -Чт-(Р(е)
к = 1 * *
Ve}*J =
= J] е"а" [1 - е_Р(Е)х*/е] +
