Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
м(х;е) = wft;e) ~ M0ft) + ей1 ft) + e2u2ft) + ..., Е, = х/е. (А1.28)
Тогда уравнение (А1.23) приводится к виду
и^ -ь ем = О,
откуда, приравнивая члены с одинаковыми степенями е, получаем
последовательность рекуррентных уравнений
U0t,% 3" М05 = и1Ц 3" Ult, ~ Н0> и2Х? 3" U2% = - Ul> •••
(А 1.29)
с решениями вида
й0(%) = а0 +Ь0е~ь,
5,ft) = fl, 3- b1e~*' - а0Е, + (А1.30)
"2 ft) = a2 + Ь2е"* -а,? З-Ь,^-4 -
- + *0(* + ..............................
Воспользуемся теперь (А 1.28), чтобы удовлетворить первому условию
(А1.24) при х = 0, т. е. % = О:
мо(0) + ем! (0) + ... = U0,
откуда с учетом (А 1.30) получаем
a0+b0=U0, а1+Ъ1=0, а2 = 0,.... (А1.31)
Эти уравнения не позволяют определить ая3.0 и Ь"^0; нам необходимо еще
одно условие для каждого из й"ft).
Тот факт, что мы не можем определить внутреннее решение полностью
на этой стадии, является в задачах сингулярного возмущения
скорее нормой, чем исключением. В действительности обычно ни внутреннее,
ни внешнее решения не удается определить однозначно. Нам нужно только,
чтобы внутреннее решение переходило во внешнее решение. В этом состоит
основное содержание процесса сращивания в задачах сингулярного
возмущения. Вопрос теперь заключается в том, как осуществить такое
сращивание и при этом определить неизвестные постоянные интегрирования,
которыми в рассматриваемом примере являются ап и Ьп для п ^ 0. Общая
задача сращивания нетривиальна, и мы дадим здесь только ее суть, оставив
более подробное обсуждение до разд. А1.3.
312
Приложение 1
В примере 1 мы просто присоединили внутреннее решение к внешнему и с
точностью до 0(1) немедленно получили полное, равномерно пригодное
решение. В общем случае сращивание асимптотических разложений основано на
допущении, что формулы как для внутреннего, так и для внешнего решений
справедливы в некоторой промежуточной области. Существование такой
области не всегда легко доказать. В обоих рассмотренных примерах
независимой переменной во внешнем разложении служит х, в то время как для
внутреннего разложения это х/е вблизи х = 0 и (1 - х)/е вблизи х = 1.
Промежуточную же переменную, например вблизи границы х = О, можно
записать в виде
где а (е)-непрерывная функция е. Если мы теперь выразим внутреннее
решение через ? и положим е -> 0 при фиксированном ц, то должно
получиться то же самое, что и для внешнего решения, выраженного через ?,
при е -> 0 и фиксированном Это означает, что для промежуточной области
вблизи х = 0 мы должны иметь
Выразим (А 1.27) через
и(х; е) ~ U^1 ~ "(E)Q + elM 1 - a(e)Qe(1 " *100 + ...
~ Uye{ 1 - офК + ...} + eU/1 - а (е) Q е {1 - офК + ...} + ... ~ U^e {1 -
а(е)? + ... + е - 2еа(е)? е -" 0.
(А 1.32)
-> 00 при 8 -> О,
lim {[u0(x) -I- Euy (x) + ...]
x = а (eK
e - 0 ? фиксир.
lim {[MS) + eu,(S) + ...]^=ME)?/E}. (A1.33)
e -* 0 С, фиксир.
(A 1.34)
С другой стороны, для (А1.28) с учетом (А1.30) имеем
H(S;e)~{ao+V*(EK/?} +
Приложение 1
313
+ ь, -
.л ДМ е
_ 1 / "(е) у рг
(А1.35)
+ К
сф1^ + V a(?)_j ^
+
, - "(?)?/?
+ ...
{а0 - а (Е)а"С + о(а(е))} +
4- е{а, - a(e)<V + о(а(е))} 4- о(е), е -> О,
так как е
(а (е)/б)С .
о(е ) для всех Л7, поскольку а(е)/е -> оо, когда е
-* 0. Таким образом, приравнивая соответствующие члены, получаем из
(А1.33) - (А1.35)
IV = а0> IV = aj, что, согласно (А 1.31), дает
а0=И1е, Ъ0 = U0 - IV, = IV Ь, = - a, = - IV •
(А1.36)
Заметим, что нам не нужно здесь определять а(е); эта функция должна
только вести себя, как указано в (А1.32). Итак, внутреннее решение,
справедливое вблизи х = 0 (I; = 0), т. е. при 0 < х " a (s), имеет в силу
(А1.30) и (А1.36) следующий вид:
н(?; е) ~ {(V[l - е"5] + U0e^} +
+ е{и0&~ь + i/ie [1 - % - (1 + Qe-"]} + ..., е -" 0. (А1.37)
Теперь мы имеем полное описание решения: это (А1.27) для 0 < х < < 1 и
(А1.37) для 0 ^ х"а(е). Практически важный вопрос состоит в том, где и
как надо переходить от внутреннего решения к внешнему. Для ответа на него
мы получим составное асимптотическое разложение решения, равномерно
пригодное всюду, используя тот факт, что имеется область перекрытия.
Такое равномерно пригодное асимптотическое решение по необходимости будет
более сложным, чем внешнее или внутреннее решения в отдельности. Один из
способов получить составное разложение-это сложить внутреннее решение с
внешним и вычесть промежуточную форму, чтобы она не входила дважды. Здесь
промежуточным решением является внешнее или внутреннее решение,
314
Приложение 1
выраженное через промежуточную переменную ?. Таким образом,
^составное " ^внутр. ^внеши. ^промеж.* (А 1.38)
В (А1.38) в сингулярной области вблизи х = О остается только ивнутр,
вдали от сингулярной области остается внешняя форма пвиеши, а с помощью
(А1.38) достигается плавный переход. В рассмотренном выше примере, если в
качестве внутреннего решения взять (А1.37), внешне-го-(А1.27) и
промежуточного-(А1.34), то составное решение ис(х) с точностью до О (1)
примет вид
ис (х)~й0 й) + и0 (х) - lim и0 (а (е) ?, е) =
