Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
оо внешний и внутренний пределы суть lim0 = lim , х фиксировано, 0 < х0 <
х ;
Е^° (А 1.44)
lim; = lim , Е, фиксировано, 0 < Е, < X < оо .
Е -> 0
Из последнего следует, что х < Ха (е), поэтому под знаком внутреннего
предела можно написать х -> 0.
Внутренний предельный переход, примененный к решению и или к уравнению,
записанному через переменную приводит к х -> 0 и вносит упрощения, вообще
говоря, отличные от тех, которые вносились в решение или уравнение,
записанные через переменную х. На основании рассмотрения внутреннего
предела мы конструируем внутреннее, или сингулярное, асимптотическое
разложение для м(х; е) в форме
N
"(х;е)= I Ф,(е)",(c) + "(Ф"(?)). еф 0, (А 1.45)
л = 0
Приложение 1
317
где u"(t)- функция только
Заметим, что как для внешнего разложения (А1.41), так и для внутреннего
(А1.45) использована одна и та же асимптотическая последовательность {ф"
(е)}. Если бы мы использовали две различных последовательности, например
{\J/" (е)} и {%п (е)}, мы могли бы просто сконструировать их
упорядоченное объединение и назвать его |ф" (е)}. При этом, конечно,
некоторые из функций ип (х) и и" (с) могут оказаться тождественно равными
нулю. Следует также отметить, что при решении дифференциальных уравнений
для построения асимптотических решений во внутреннем и (или) во внешнем
разложениях часто появляются неопределенные постоянные. Это связано с
тем, что граничные условия для внутренней области нельзя непосредственно
применять для внешнего разложения и наоборот.
При построении внешнего предела мы ожидаем, что решение н(х; е) и его
асимптотическое разложение (А1.41) будут такими, что для любого х > 0
соотношение
N
U - L Фл(?К (х) = о(фИ?))> О, (А 1.46)
" = О
выполняется равномерно по х > х0, тогда как (если новая независимая
переменная ?, выбрана правильно) для внутреннего предела соотношение
N
и = X фЛе)й"Й) = о(фх (е)), ЕI о, (А 1.4 7)
л = О
выполняется равномерно по ?, < X. Но для внешней области а > х0 > > 0, а
во внутренней области 0 < х < Ха. (е), и так как для достаточно малых е
справедливо Ха (к) < х0, то существует зазор между внешней и внутренней
областями, показанный на рис. А1.2. Этот зазор является промежуточной
областью. Асимптотическое описание решения в форме (А1.41) и (А1.45)
применимо только при наличии в этом зазоре области перекрытия, в которой
ошибка каждого разложения составляет о (фЛ, (е)). Вообще говоря,
существование такой области перекрытия является допущением. Если можно
показать, что в некоторой части промежуточной области внутреннее и
внешнее разложения равны с ошибкой о (фЛ (е)), то это служит
правдоподобным (но не строгим) обоснованием существования области
перекрытия. Иными словами, тогда внутреннее и внешнее разложения
сращиваются. Строгое обоснование сращивания может быть очень сложным.
Эта промежуточная область может быть описана набором "функций порядка"
р(е), где при е | О
а (е) " Р (s)" 1, Р(е) непрерывна в 0<e<eo. (А1.48)
318
Приложение 1
Введя теперь промежуточную переменную хр соотношением
Хр = х/Р(Е), (А 1.49)
мы можем определить промежуточные пределы
limint = lim, хр фиксировано вО<а<хр<Л<оо. (А1.50)
Е -• О
Таким образом, для х = р (е)хр имеем х -> 0, в то время как для с, = =
(Р(е)/а(е))хр выполняется Е, -* оо в любом промежуточном пределе (А1.50)
с Р(е) из (А1.48).
Теперь для сращивания внешнего и внутреннего разложений до (N + 1)-го
члена предположим, что существует такая функция порядка
Внутренняя Промежуточная Внешняя
область ^ область ^ область
Ха (с) х0
внутреннее разложение справедливо с точностью 0 ( Ун (€))
вн
Внешнее разложение справедливо с точностью о ( ?" (6))
Область
перекрытия
Рис. А1.2.
Р(?, N), что если мы положим х = Р(е, IV) хр и с, = ф (к, N)/а(е))хр во
внешнем и внутреннем разложениях соответственно и рассмотрим
промежуточный предел (А 1.50), т.е. положим ? -> Ос фиксированным хр, то
оба разложения до (IV + 1)-го члена отличаются друг от друга (и от
точного решения) лишь членами порядка о (cpv (е)).
Таким образом, процедура сращивания заключается в том, чтобы переписать
внутреннее и внешнее разложения в терминах промежуточной переменной хр и
пренебречь членами порядка о (cp/V (г)), когда е -*¦ -*¦ 0 при
фиксированном хр. Полученные разложения должны быть идентичными. Тем
самым можно найти неопределенные постоянные.
После сращивания получается составное разложение, равномерное при е ->• 0
для всех х:
и~ ? фДе)[ыя(х) + йий) - ц,(а(Е)У], (А1.51)
п = О
представляющее собой сумму внешнего и внутреннего разложений минус
внутреннее разложение внешнего ряда. Вместо этого можно вычесть
Приложение 1
319
внешнее разложение внутреннего ряда, т.е. ? ф"(е)м"(х/а(е)). Опи-
п = О
санный метод фактически совпадает с методом получения составного
разложения (А1.39), примененным в разд. А1.2.
Чтобы продемонстрировать процедуру сращивания, рассмотрим теперь простой,
но нетривиальный неоднородный вариант уравнения (А1.7), а именно
