Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 126

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 154 >> Следующая

е -" О ? фиксир.
= {IV [1 - е~х1г] + U0e~x^} +
= (U0 - Ute)e~ х/е + Uje1 ~ х.
Задача (А1.23), (А1.24) имеет точное решение1*
и(х; е) = (1 - е1 ~ 1/с)~1 {Uje1 ~ х + (U0 - -U0el-Xe~ l/?},
которое асимптотически стремится к (А 1.39) при 0 < е" 1, так как е~ 1/е
= o(e;V) для всех N, и асимптотически членами с этим множителем можно
пренебречь.
Процедура сращивания и составные разложения на вполне доступном уровне
обсуждаются в книгах Ван-Дайка (1975) и Найфэ (1973).
Выше мы выбрали внешнее решение (А1.16) с м"(х) из (А1.26), чтобы
выполнялось граничное условие в точке х = 1. Допустим, что мы вместо
этого потребовали, чтобы удовлетворялось первое граничное условие
(А1.24), т.е. и(0; е) = U0. Тогда вместо (А1.27) мы имеем для внешнего
решения
и(х; е) ~ U0e~x - sU0xe~x + ..., е->0. (А1.40)
Поскольку для этого решения не выполняется второе граничное условие
(А1.24), м(1; е) = (7,, то можно было бы ожидать появления пограничного
слоя (сингулярного решения) вблизи х = 1. Введем поэтому, как в примере
1, г] = (1 - х)/е в качестве внутренней переменной, и тогда внутреннее
решение ы (т); а) определяется из уравнения (А1.23), преобра-
(А1.39)
11 Здесь выписано точное решение уравнения ей" + (1 + е)и' + и = 0 при
условиях (А1.24). Для уравнения (А1.23) результат аналогичен,-Прим. ред.
Приложение 1
315
зованного таким способом, т.е.
ц,, - ц, + ей = 0.
Члены и0 (т|), и, (ц), ... в разложении, аналогичном (А1.28), теперь
находятся из уравнений (ср. с (А1.29))
^0Т| "1" ^0' •**'
имеющих неограниченные решения при г) -> со. Поскольку (А1.40) ограничено
при х -* 1, с таким внутренним решением не может быть сращивания.
Следовательно, погранслоя вблизи х = 1 не может быть, и решение таково,
как мы вывели выше, т.е. с сингулярной областью в окрестности х = 0.
Существуют двухточечные краевые задачи, для которых нет сингулярной
области ни у одной граничной точки, но она может быть внутри; примеры
этого обсуждаются в книге О'Маллея (1974).
В следующем разделе мы обсудим более полно процесс сращивания и приведем
пример, демонстрирующий процедуры сращивания более высокого порядка.
Многочисленные иллюстративные примеры можно найти в литературе (см.
список в конце настоящего приложения).
А1.3. Метод сращивания и нетривиальный пример
Хотя асимптотические методы и идеи применяются весьма широко, в основном
они развйвались для дифференциальных уравнений, в частности при
исследовании уравнений Навье-Стокса в гидромеханике. И сейчас наиболее
широко эти методы применяются в теории дифференциальных уравнений.
Поэтому, ориентируясь на дифференциальные уравнения, мы в дальнейшем
вспомним о примере 2 разд. А1.2, а именно об уравнении (А1.23)'с
граничными условиями (А 1.24).
Если в задачу о решении дифференциального уравнения с заданными
граничными условиями входит малый параметр е > 0, который может
присутствовать в самом дифференциальном уравнении и (или) в граничных
условиях, наша цель состоит в том, чтобы найти асимптотическое разложение
решения при е -* 0, равномерно пригодное для всех значений независимой
переменной в рассматриваемой области. Общая задача представлена,
например, формулами (А1.3), (А1.4). Здесь мы рассмотрим скалярное
уравнение для и(х;е), где область значений х ^ 0 может быть ограниченной
или неограниченной.
Предположим, что решение и(х; е) имеет асимптотическое разложение вида
N
u{x;e)= X Ф"(Е)мя(х) + о(фл,(е)), еф 0, (А1.41)
п =0
316
Приложение 1
где {ф" (е)} - асимптотическая последовательность при eJO с ограниченными
ф"(0), а м" (х)~ функции только от х; это разложение неравномерно вблизи
некоторой точки области х, например х = 0. (Если форма (А1.41) пригодна
равномерно, то задача, конечно, несингулярна.) Разложение (А1.41)
является внешним, или несингулярным, разложением решения и(х;е). С
внешним разложением связан так называемый внешний предел, часто
обозначаемый lim0 и определяемый соотношением
limQ = lim , ¦ х > 0 фиксировано. (А 1,42)
е 0
Чтобы исследовать область вблизи х = 0, где (А1.41) не дает
асимптотического разложения при г [ 0, введем преобразование Е, = Е, (х;
е), которое позволит нам более детально рассмотреть непосредственную
окрестность точки х = 0.
Преобразование должно быть таким, чтобы эта малая окрестность х = 0,
после перехода к оси С, стала при ej.0 большой. Другими словами, Е, = 0,
когда х = 0, и lim ^(х; е) = оо для любого как угодно
Е -<• о
малого фиксированного х > 0. Например, в разд. А 1.2 это преобразование
имело вид Е, = х/е. В любой данной ситуации конкретное преобразование
определяется задачей, но, конечно, опыт и изобретательность играют важную
роль. Во многих нелинейных задачах зависимая переменная и также должна
быть преобразована.
Здесь мы рассмотрим преобразования вида
Е=х/а(е), а(е)|0, е|0, (А1.43)
где а(е)- непрерывная функция е при 0 < е < е0 для некоторого е0.
Определим' теперь внутренний предел, часто обозначаемый lim,, как предел
при е X 0 и фиксированном конечном С,. Итак, для некоторых х0 > 0 и X <
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed