Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(несингулярного) возмущения. Математически (и физически, и биологиче-
304
Приложение 1
ски) такое решение не очень интересно в том смысле, что. если u0 (г, t)
определено, то более точное приближение u0 + eui решения получается
простой поправкой к и0 порядка 0(e). С другой стороны, если lim и (г,
t;e) не достигается равномерно, то u (г, t; е) теряет аналитичность при е
-> 0, разложение типа (А1.5) не является равномерно пригодным и задача
превращается в задачу сингулярного возмущения. В этом приложении мы будем
заниматься такими сингулярными задачами и различными методами получения
равномерно пригодных формул для решений. Как правило, мы будем это
делать, получая асимптотические решения для ряда конкретных задач, в том
числе допускающих точное решение, чтобы такой анализ был мотивированным и
можно было увидеть полную картину. Приведенные в основном тексте
сингулярные биологические задачи являются практическими примерами
случаев, когда точные решения нельзя получить аналитически.
Есть несколько хороших вводных книг, специально посвященных методам
сингулярных возмущений. Особенно следует отметить монографии Ван-Дайка
(1975), Коула (1968), С. А. Ломова (1981)*, Найфэ (1973) и О'Маллея
(1974); в последней из них рассмотрены только обыкновенные
дифференциальные уравнения, в то время как первая посвящена в основном
задачам гидромеханики. Книга Лина и Сиджела (1974) содержит введение в
эти методы. Значительная часть книги Марри (1974) также связана с этим
аспектом асимптотического анализа.
А1.2. Простые иллюстративные примеры и интуитивный подход
1. Рассмотрим скалярное уравнение для и(х;е)
где штрих означает дифференцирование по х и граничные условия пока не
уточняются. Точные решения уравнения (А1.7) имеют вид
где а1 и а2 -постоянные интегрирования, которые могут зависеть от е.
Рассмотрим теперь два различных набора граничных условий, связанных с
двухточечной краевой задачей и задачей с начальными данными. Рассмотрим
первую из них и примем х ^ 1 и
где и0 и и, (ф и0)~постоянные, не зависящие от е (только ради простоты).
Решение (А1.8), удовлетворяющее условиям (А1.9), имеет вид
ей" + и' = 0, |е|" 1,
(А 1.7)
и (х; е) = at (е) е */Е 4- а2 (е),
(А1.8)
и(0;е) = и0, м(1 ;е) = и,,
(А 1.9)
(А1.10)
Приложение 1
305
Это решение не является аналитической функцией е в окрестности значения ?
= 0, так как м(х;е) не стремится к определенному пределу при е -> 0.
В дальнейшем нам необходимо различать два случая ? ->
0:
? > 0 и ? < 0; они обычно записываются в виде ?ф0 и еТО
соответственно. Из (А1.10) мы имеем при ? | 0 (е > 0)
и (х; е) ~ и0е ~ x/L + и1, 0 < х < 1, 0 < е " 1 ;
(А 1.11)
и -> К] , 0 < .X < 1, ? J.O.
С другой стороны, для отрицательного г Т 0
и(х; е) ~ и0 + ихе[Х ~ х)1\ 0 < х < 1, 0 < |е| " 1;
(А 1.12)
и -> и0, 0 ^ X < 1 , ?t 0.
Рассмотрим пока случай положительного е. Предельное решение и = и1 в
(Al.ll) при ?X0 удовлетворяет граничному условию (А1.9) при х = 1, но не
удовлетворяет ему при х = 0. С другой стороны, положив ? X 0 в исходном
дифференциальном уравнении (А1.7), мы получим
и' = и = const. (А1.13)
Если в качестве постоянной принять и1, это решение удовлетворяет второму
условию (А1.9), но не первому; если же в качестве постоянной принять и0,
мы можем удовлетворить первому условию (А1.9), но не второму.
В этом примере и в подобных ему нам следует ожидать трудностей при
удовлетворении граничных условий, поскольку порядок дифференциального
уравнения (А1.7) при е -> 0 понижается, и мы, вообще говоря, теряем
постоянную интегрирования, а потому не сможем удовлетворить обоим
граничным условиям. Вообще малый множитель при старшей производной в
дифференциальном уравнении (обыкновенном или с частными производными)
прямо указывает на то, что мы имеем дело с задачей сингулярного
возмущения (кроме некоторых особых случаев). Есть другие классы задач
сингулярного возмущения, в которых малый параметр не стоит множителем при
старшей производной в уравнении. Они часто возникают в теории колебаний.
По поводу таких задач читатель может обратиться к цитированным выше
книгам и к диализу, проведенному в гл. 3.
По-прежнему считая е > 0, получим решение (А1.10) в окрестности х = 0 в
виде
и(х, е) ~ н0е~х/Е + К; (1 - е~х'?), е j 0, х | 0, (А1.14)
откуда ясно, что
limlimu(x;?) = и1 ф и0 = lim lim и(х; в). (А1.15)
xJO si 0 elO лЦО
20-612
306
Приложение 1
Тем самым пределы при е J. 0 и при х 10 не коммутируют.
Из (А1.14) следует, что вблизи х = 0 имеется пограничный слой, или
сингулярная область, т.е. узкая область порядка 0(e) по х, в которой
решение изменяется очень быстро, в рассматриваемом случае-от граничного
значения и0 до предельного значения
lim м(х; е) = Uj.
Е -+ о
X ф О
Градиент и в точке х = 0 имеет порядок 0(1 /е), и, например, для (А1.14)
и' (0; е) = - (Ui - Up).
е
На рис. А1.1,а представлены решение и пограничный слой при е J, 0. С
другой стороны, когда е Т 0, пограничный слой находится у точки х =
