Биометрия - Лакин Г.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Ферхюльста:
у- | н-ю*и1 +с' (202)
'де у - учитываемый признак; t - время, прошедшее от началь-юй, или
базисной (с), величины признака, с которой начато его (змерение, до
предельной в данных условиях величины N, которой он достиг за время t\ а
и b - параметры уравнения, опреде-1яющие характер логистической кривой.
295
Путем логарифмического преобразования это уравнение прь обретает
следующее выражение:
'г (-^7-1 )=<'+"•
Обозначив (-----------1 )через г, получаем уравнение линейно!
\у - с J
регрессии:
\gz-a-\-bt. (203
Таблица 13l
t У Р N N , lgz t lg г
У --1-г
У
0 5
1 20 1 19,50000 18,50000 +1,2672 + 1,2672 + 1,2672
2 100 4 3,90000 2,90000 +0,4624 +0,4624 +0,9248
3 300 9 1,30000 0,30000 1,4771 ---0,5229 ---1,5687
4 350 16 1,11430 0,11430 1,0581 ---0,9419 ---3,7676
5 380 25 1,02630 0,02630 2,4200 -1,5800 -7,9000
6 385 36 1,01299 0,01299 2,1136 ---1,8864 -11,3184
7 389 --- --- --- --- --- ---
2 21 --- 91 --- --- --- ---3,2016 -22,3627
Определению параметров а и b этого уравнения удовлетворяв" следующая
система нормальных уравнений:
an+b'^t^'^lgz;
Решая эту систему относительно параметров а и Ь, получаем следующие
формулы:
где D=n2<2-(2О2.
Из этих формул следует, что для получения эмпирическоп уравнения
логистической зависимости между переменными t и t необходимо
предварительно рассчитать 2/, 212, 21gz и 2(tigг, Затем, определив
параметры а и Ь, найти для каждого значения t (в пределах учитываемого
промежутка времени) величины lgr и г, что и приведет к нахождению
ожидаемых значений yt.
296
Пример 21. На протяжении семи суток проводили наблюде-тия над ростом
численности особей инфузории туфельки в замк-1утой среде обитания
(аквариуме). Результаты опыта и их об-(аботка приведены в табл. 132.
Наблюдения начаты с помещения в аквариум пяти особей ту-вельки. К
концу первых суток их численность увеличилась в 4 >аза, затем в 5 раз и
т. д.
Принимая с=0 и N=390, составляем систему нормальных 'равнений:
6я + 21й=-3,2016;
2la-f-9lb- -22,3627.
'ешая эту систему, находим
-3,2016-91-21 (-22,3627) = 178,271_ = ^ g
6-91-21-21 105
6-22,3627 -21 (- 3,2016)
- 134,1762 - 67,2336
105
105
¦0,6375.
)тсюда эмпирическое уравнение, выражающее закономерность юста численности
особей популяции туфельки в замкнутой среде обитания, оказывается
следующим:
yt=-
390
1 + 10
1,698-0,'
Это уравнение позволяет определять ожидаемую численность юобей
туфельки yt в любой момент ее развития в замкнутой сре-;е обитания. Для
простоты следует логарифмировать уравнение тямой z=a + bt, затем с
помощью таблицы логарифмов найти
;начения z= --1, а также z+1. Делением N на г+1 получа-
tJ т,
этся искомые величины уг. В отношении рассматриваемого при-iepa эти
вычисления выглядят так (табл. 133).
Таблица 133
t lg г-a+bt lg z г---1 г+1 it
У
0 +1,698 +1,698 49,900 50,900 8
1 +1,061 + 1,061 1.1,510 12,510 31
2 +0,424 +0,424 2,650 3,650 107
3 -0,213 1,787 0,612 1,612 242
4 -0,850 1,150 0,142 1,142 342
5 ---1,488 2,512 0,032 1,032 378
6 -2,124 3,876 0,0075 1,0075 387
297
При сопоставлении эмпирически полученных величин yt с вычисленными yt
видно, что они неплохо согласуются между собой. Более наглядно об этом
свидетельствует рис. 40, на котором на фоне ломаной эмпирической кривой
изображена плавно идущая кривая ожидаемых значений yt переменной У1.
IX.3. ОЦЕНКА ДОСТОВЕРНОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РЕГРЕССИИ
Выборочные показатели регрессии являются оценками соответствующих
генеральных параметров и, как величины случайные, сопровождаются
статистическими ошибками. Ошибку выборочного коэффициента регрессии У по
j определяют по формуле
ьух-
Рис. 40. Возрастание численности популяции инфузории
туфельки в замкнутой среде обитания
л[ (1 -^S(w-y)8 * (л-2) 2 (Х1 - *)2
(204)
а ошибку коэффициента регрессии X по У - соответственно
Г
"ху=У
(1 - л2) 2 (Х{ - х)2
(л - 2) 2 (ifl - у)2 '
(204а)
Достоверность выборочных коэффициентов регрессии оценивают с помощью
^-критерия Стьюдента. Нулевую гипотезу отвергают на принятом уровне
значимости (а) с числом степеней свободы k = n-2, если t^^tst.
Пример 22. В гл. VIII было установлено, что между массой тела
