Биометрия - Лакин Г.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
но рассчитать Ъу, . 2 ~~Т и Т '
Пример 15. В семи хозяйствах района сопоставили урожаг. озимой
пшеницы с себестоимостью 1 ц зериа этой культурь. Полученные результаты и
их обработка приведены в табл. 12с
Таблица 12'
X х-Х/8 У У 1 1 Ух
Xг х1 X*
8 ЬО 12,0 12,0 1,0000 1,0000 11,7
И 1,4 8,0 4,08 0,5102 0,2603 8,4
13 1,6 7,3 2,85 0,3906 0,1526 7,6
19 2,4 6,0 1,04 0,1736 0,0301 6,1
21 2,6 6,3 0,93 0,1479 0,0219 5,9
27 3.,4 5,8 0.,50 0,0865 0,0075 5,5
29 3,6 5,2 0,40 0,0772 0,0060 5,4
Сумма --- 50,6 21,80 2,3860 1,4784 50,6
В этой таблице через X обозначен урожай пшеницы (ц/га) в разных
хозяйствах района, а через у - себестоимость 1 i: пшеницы (руб.). Чтобы
облегчить вычисление вспомогательны; величин, значения независимой
переменной X сокращены hl К-8, полученные результаты помещены во второй
графе (х табл. 126. Используя суммы из табл. 126, находим значения
определителей системы: D = 7-1,4784- (2,386)2 = 10,3488 - -5,6930=4,6558;
Л=50,6-1,4784-21,80-2,3860 = 22,7922; Б = =7-21,80-50,6 • 2,3860=31,8684.
Отсюда а=А/?> =22,77/4,65= =4,895; b-B/D=31,868/4,656=6,8445.
Эмпирическое уравнение гиперболы второго порядка оказывается следующим:
Рассчитанные по этому уравнению ожидаемые значения зависи мой переменной
ух приведены в последнем столбце табл. 12с Видно, что они неплохо
согласуются с эмпирическими значениями признака у. Более наглядно это
показано на рис. 33, гдь изображены эмпирическая и выровненная по
уравнению гнпег-болы второго порядка линии регрессии.
284
Регрессия, выражаемая уравнением гиперболы третьего по->ядка. В
практике встречаются случаи, когда с увеличением не-:ависимой переменной
X зависимая переменная Y, быстро убы-лая, вскоре стабилизируется на
определенном уровне, принимая более или менее постоянные значения. В
таких ситуациях ^ля выравнивания эмпирического ряда регрессии можно ис-
юльзовать уравнение гиперболы третьего порядка:
У,=^~ • (196)
Урожай пшеницы, 102 кг/ га
"'ис. 33. Зависимость между себестоимостью пшеницы и урожаем
этой культуры
для определения параметров а и Ъ этого уравнения применяют ¦ледующую
систему нормальных уравнений:
а/И flV_L+/,y±=_L .
Jmdxi Л j;f
Решая совместно эти уравнения относительно параметров а I Ь, получаем
следующие формулы:
285
гдeD="2-^-[Z-tJ ' <~)тсюда следует, что для нахождения параметров а и b
необходимо предварительно рассчитать 2г/, У- . У ~ и y-L-.
д:3 л:3 ^ д;6
Пример 16. В табл. 127 приведены результаты восьми однотипных
испытаний и их обработка по формуле (196).
Таблица 127
X У X3 X* У 1 1 Ух
х3 -Г3
1 29,0 1 1 29,000 1,0000 1,00000 28,4
2 5,9 8 64 0,738 0,1250 0,01562 5,7
3 3,4 27 729 0,126 0,0370 0,00137 3,4
4 3,8 64 4096 0,059 0,0156 0,00024 2,9
5 2,5 125 15625 0,020 0,0080 0,00006 2,7
6 2,0 216 46656 0,009 0.0046 0,00002 2,6
7 2,3 343 117649 0,007 0,0029 0,00001 2,6
8 1.9 512 262144 0,004 0,0020 0,00000 2,5
Сумма 50,8 --- --- 29,963 1,1951 1,01732 50,8
Из данных табл. 127 видно, что после резкого снижения числовых
значений зависимой переменной у они постепенно стабилизируются, оставаясь
примерно на одном уровне. Найдем эмпирическое уравнение этой регрессии:
Z) = 8-1,01732-1Д9512 = =8,1386-1,4283 = 6,710; А = (50,8-1,01732-29,963-
1,1951)/6,710= = 15,871/6,710 = 2,37; В = (8 -2 9,963 - 50,8 •
1,1951)/6,710 = = 178,993/6,710 = 26,676. Эмпирическое уравнение
регрессии У по X оказывается следующим:
-Ух== 2,37+
Испытание этого уравнения показало, что оно не удовлетворяет равенству
Ъу=Иух\ корректируя его, находим точное уравнение регрессии У по X:
40-
Рассчитанные по этому уравнению выравнивающие значения ух приведены в
последнем столбце табл. 127. Видно, что они неплохо согласуются с
эмпирическими значениями переменной У. Более наглядное представление об
этом дает рис. 34.
Регрессия, выражаемая уравнением гиперболы первого порядка с тремя
неизвестными: а, b и с. Если с увеличением независимой переменной X
зависимая переменная У быстро убывает,
286
достигая некоторого предела, за которым обнаруживается более 1ли менее
стабильное течение функции, то для выравнивания эмпирических значений
зависимой переменной может быть исполь-ювано уравнение гиперболы
следующего вида:
у-а-\-Ьх-\-~. (197)
1,ля определения параметров а, b и с этого уравнения служит ¦ледующая
система нормальных уравнений:
a 2-*+62'*2-t"a7i==:2J!^;
•2т+**+'2^-2*-
ттобы по выборочным данным составить такую систему, необхо-щмо
