Биометрия - Лакин Г.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
предварительно рассчитать 2*, 'Ey, "Lxy, и
1 *
Значения независимой переменной
"'ис. 34. Эмпирическая в вычисленная по уравнению гиперболы
третьего порядка линии регрессии Y во X
Тример 17. Как показали многочисленные наблюдения, с уве-(ичением
числа независимых испытаний (п) величина ошибки среднего результата s*
закономерно уменьшается:
Число испытаний .... 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Ошибка средней .... 6,2 2,9 1,6 1,9 1,1 0,9 1,2 0,9 0,9
287
Эта связь между переменными п и s~x имеет гиперболические характер и
может быть описана с помощью уравнения (197. Найдем эмпирическое
уравнение этой связи. Чтобы облегчите вычислительную работу, обозначим
переменные п и sx соответст-венно через X и Y и сократим значения
независимой переменно! X на 5. Тогда аргумент X выразится рядом
натуральных чисе/
1, 2, 3, ... Расчет вспомогательных величин приведен в таб/. 128.
Таблица 12'
Преобра Величина ху У X1 1 1 Ух
зованные ошибки у X X
значения
аргумен
та X
1 6,2 6,2 6,200 1 1,000 1,0000 6,2
2 2,9 5,8 1,450 4 0,500 0,2500 2,9
3 1,6 4,8 0,533 9 0,333 0,1111 1,9
4 1,9 7,6 0,475 16 0,250 0,0625 1,4
5 1,1 5,5 0,220 25 0,200 0,0400 1,2
6 0,9 5,4 0,150 36 0,167 0,0278 1,1
7 1,2 8,4 0,171 49 0,143 0,0204 1,0
8 0,9 7,2 0,113 64 0,125 0,0156 1,0
9 0,9 8,1 0,100 81 0,111 0,0123 0,9
45 17,6 59,0 0,412 285 2,829 1,5397 17,6
2 = 45
Составляем систему нормальных уравнений:
9а + 456 + 2,83с = 17,6;
45а + 2856 + 9с = 59,0;
2,83а + 96+1,54с = 9,412.
Решая эту систему относительно параметров а, 6 и с (как описа но выше),
находим: а=-0,571; 6 = 0,0871; с=6,6496. Отсюда эь лирическое уравнение
регрессии Y по X:
ух= -0,571 +0,0871*+ -6^-Э6 ¦.
Подставляя в это уравнение вместо х преобразованные значени? аргумента,
находим:
ух= - 0,571 + 0,0871-1 + 6,6496/1 =6,2;
ух= -0,571 + 0,0871-2 + 6,6496/2 = 2,9 и т. д.
Рассчитанные таким образом значения ух зависимой переменной у
приведены в последнем столбце табл. 128. Они хорошо сс.-
288
ласуются с эмпирическими значениями функции, что более на-'лядно
иллюстрирует рис. 35. Заметим, что в других подобных •лучаях для
выравнивания рядов регрессии более подходящими логут быть уравнения
гиперболы второго и третьего порядков с 'ремя неизвестными, т. е.
yx=a-\-bx-\-clx2; ух=а-\-Ьх-\-с/х3 и т. д.
Регрессия, выражаемая уравнением показательного типа.
3 тех случаях, когда основная тенденция эмпирического ряда рецессии
следует или оказывается близкой закону геометрической
Рис. 35. Зависимость между числом наблюдений п и величиной
ошибки s- среднего результата х
[рогрессии, его удается описать уравнением экспоненциального, 1ли
показательного, типа:
y=abx или у=аех!>. (198)
Использование уравнений такого вида связано с их логарифми-юванием, что
позволяет трансформировать их в уравнение пря-юй линии. Так, в данном
случае
lgy=lga-f*lgk (199)
Логарифмическое преобразование исходного уравнения репрессии не только
облегчает вычисление параметров а и Ь, но и лужит своего рода контролем
того, насколько правильно выбрало применяемое уравнение. В частности,
условием правильного выбора уравнения показательного типа служит
требование, что-ш точки х и lg у в системе прямоугольных координат
находились ia одной прямой.
0-1674
289
Для определения параметров уравнения (199) служит Cflf дующая система
нормальных уравнений:
Совместное решение этой системы приводит к следующим фог мулам:
Ig6 = ^[n2(*lg^)-2*2M .
где D - tiLx2-(Ел:)2; п - число членов ряда; # -значения чл^ нов ряда
зависимой переменной Y; х - значения членов ряде независимой переменной
X, которые обычно выражают, как и t предыдущем случае, числами
натурального ряда.
Таблица 12i
Возр аст Масса X1 1вг/ xlgy Ух
живо гных тела, у
факти выра кг
ческий женный
X числами
натураль
ного
ряда х
20 1 4,6 1 0,66276 0,66276 4,3
26 2 4,5 4 0,65321 1,30642 5,0
