Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
Когда ветер дует над поверхностью Земли, то независимо от того, твердая ли это суша или поверхность моря, на ней возникает напряжение (см. гл. 2). Для атмосферы оно выступает достаточно важным фактором торможения (см., например, разд. 2.4), а для океана — основной движущей силой. Действительно, основные системы течений Мирового океана имеют преимущественно ветровое происхождение. Рассмотрим теперь этот тип вынуждающих сил. Хотя это и удивительно, но оказывается, что он имеет свойства, сходные со свойствами вынуждающих сил топографической природы.
Горизонтальное напряжение (X, Y) на поверхности Земли — это горизонтальный вектор, представляющий собой силу, действующую на единицу площади между поверхностью (считаемой горизонтальной) и граничащим с ней слоем воздуха или воды. Чтобы включить эффекты горизонтальных напряжений в уравнения движения, полезно представлять океан или атмо-сферу разделенными на некоторое множество тонких горизонтальных слоев, наподобие куска фанеры (в котором, однако, каждый из слоев способен двигаться). Если напряжение (X, У) приложено к верхней части слоя, то он будет вынужден начать движение и таким образом передать напряжение ниже расположенному слою. При толщине слоя 6z напряжение, приклады-
ваемое к нижнему слою, примерно равно
(X - 62 dX/dz, У — 6 zdY/dz).
Равное по величине и обратное по направлению напряжение возникает на основании первого (верхнего) слоя, так что результирующая сила на единицу поверхности этого слоя будет равна разности напряжений на верхней и нижней границах, а именно
Умножая на площадь дхбу и деля на массу рбхбубг жидкости в слое, получаем силу, связанную с горизонтальным напряжением, действующую на единицу массы:
Это дополнительная сила, действующая на единицу массы и приводящая ее в движение, поэтому ее необходимо добавить к тем, которые уже входят в уравнения движения по горизонтали. К примеру, линеаризованные уравнения (8.4.1) и (8.4.2) для жидкости, вращающейся с постоянной угловой скоростью, после включения в них членов, связанных с напряжениями, приобретают следующий вид:
Причина, по которой в эти уравнения включена только производная горизонтального напряжения по вертикальной координате, состоит в том, что вертикальный масштаб атмосферных и океанических пограничных слоев (т. е. объемов, граничащих с поверхностью раздела, в которых напряжения сравнимы по величине с поверхностными) много меньше горизонтального пространственного масштаба изменения напряжений. Так, толщина атмосферного пограничного слоя имеет порядок 1 км, океанического—10—100 м. В то же время горизонтальный масштаб изменения напряжений может быть порядка 100—1000 км.
Детальное моделирование пограничных слоев атмосферы и океана оказывается весьма трудным делом (см., например, [490, 795, 555, 896, 413, 895]). В них не только возникает турбулентность, которая связана с действием напряжений и волновыми эффектами, но имеются и другие важные процессы перемешивания, вызванные нагреванием и теплоотдачей. Однако, как мы увидим позднее, для воспроизведения некоторых общих свойств пограничных слоев и оценки влияния пограничного слоя на основное течение можно использовать достаточно простые модели.
(dX/dz, dY/dz) 6z.
р"1 (dX/dz, dY/dz).
ди r ___ 1 dp' * 1 дХ
dt —JV — — J+p^-.
—+ f ц =_L^sL + l^L
dt ^ /w p dy T p dz '
du
(9.2.1)
Из (9.2.1) следует, что жидкость заставляют ускоряться две силы, порождаемые горизонтальным градиентом давления и вертикальным градиентом напряжения. Скорости, связанные с этими силами, можно рассматривать отдельно. Составляющая скорости (ир, 1>р), порождаемая градиентом давления, удовлетворяет уравнениям
dup/dt — fvp = — р~1др'1дх, dvp/dt -f fup — — p_1 др'/ду (9.2.2)
и в случае стационарного течения превращается в геострофиче-скую. Часть (uE,vе), порождаемая напряжением, сосредоточена в слое его действия и в соответствии с пионерской работой [186] Экмана 1905 года по проблеме пограничного слоя будет называться экмановской скоростью. Слой действия напряжения по той же причине часто именуют экмановским слоем. Экмановская скорость удовлетворяет уравнениям
duEjdt — fvE = р"1 dX/dz, dvEjdt-\- fuE = p~ldY/dz. (9.2.3)
Таким образом, скорость (и, и), которая фигурирует в уравнениях (9.2.1), может быть представлена в виде суммы
u = up-j-uE, v = vp -)- vE, (9.2.4)
где (ир, ир) удовлетворяет (9.2.2) и (иЕ, vE) удовлетворяет
(9.2.3).
Теперь напряжение (X, У) можно считать нулевым вне пограничного слоя (экмановского слоя), так что интегрирование
(9.2.3) по z через этот слой дает
9(dUE/dt-fVE) = -Xs, р (дУв/д! + fUе) = — Уз, если граница снизу.
В этом уравнении (Х5, У8) —значения напряжения на границе, а вектор
(^е- VB) = J (иЕ, »Е) dz = J (“ - %• 0 - ИР)dz О-2-6)
представляет собой перенос объема в пограничном слое относительно течения, связанного с давлением. Плотность в пределах пограничного слоя можно считать постоянной, поскольку этот слой очень тонок по сравнению с масштабом высоты. Be-личина (Vе, Ve) называется объемным экмановским переносом пограничного слоя или просто экмановским переносом. Величина {qUe, pVe) называется экмановским переносом массы.
