Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
представляло довольно трудную проблему. В остроумной работе [68] Паули с
помощью матричного метода показал, что квантовая механика на самом деле
дает такие же результаты, как и старая теория.
Если
Р = цг X V
представляет собой постоянный момент количества движения электрона
относительно ядра, а
p = \iv
Переломные годы
41
есть импульс, то из уравнении движения классической механики следует, что
вектор
A=zkFxp+^
не зависит от времени. Умножая А скалярно на г, получаем
A-r=-zkF' + ^
Вычитая квадрат каждой части этого уравнения из единицы, находим далее
Л А 2 2W Т>2
{-Л=-г^Р'
где W - энергия. Паули показал, что в квантовой механике можно ввести
матричные векторы А и _Р, формально удовлетворяющие рассмотренным
уравнениям. Используя перестановочные соотношения (15), он получил
систему матричных уравнений, содержащих только матрицы A, JP и W, так как
координаты из них исключались. Решение этих уравнений, получаемое
элементарным путем, приводило к уровням энергии (3) (для ядер с
бесконечной массой).
Примерно в это же время описанные выше исследования стали сливаться с
другим направлением, также возникшим в 1925 г. В этом же году де Бройль
[18] опубликовал замечательную работу, не сразу получившую, однако, то
признание, которого она заслуживала. В этой работе было высказано
предположение о том, что двойственность в природе света, которыйЬ давних
пор рассматривался как волновое движение, но проявляющее корпускулярные
свойства при взаимодействии с материальными частицами, должна
существовать также и для вещества, с которым наряду с корпускулярными
свойствами следует ассоциировать волновой процесс. Исходя из теории
относительности, де Бройль выдвинул постулат о связи между импульсом р и
энергией W свободной частицы, с одной стороны, и волновым вектором к и
частотой v ассоциированной плоской волны, с другой стороны:
p - hk, W=hv. (16)
Первое соотношение вскоре было подтверждено экспериментами Девиссона и
Джермера, а также Дж. Томсона и др. по дифракции электронов в кристаллах.
В то время как де Бройль рассматривал, по существу, свободные частицы,
высказывая для других случаев только каче-
42
Р. Крониг
ственные соображения, Шредингер [74] обобщил его работу, прежде всего на
случай нерелятивистского движения частицы с массой ц под действием силы,
обладающей потенциальной энергией V. Пользуясь отчасти интуитивными
соображениями, Шредингер получил зависящее от времени волновое уравнение
- д\р-_1_учг=________-- (17)
8л2ц 2лi dt '
которому должна удовлетворять волновая функция ЧС Для систем в
стационарном состоянии с энергией W, когда зависимость волновой функции
от времени имеет вид
получается стационарное волновое уравнение
приводящее к задаче о собственных значениях параметра W в случае, если на
ф накладываются разумные математические условия. Таким образом,
определение значений энергии стационарных состояний стало возможным новым
способом, на первый взгляд очень далеким от матричного метода.
Однако сам Шредингер продемонстрировал существенную эквивалентность двух
теорий. Действительно, развитая им теория обеспечивала систематический
метод для вычисления матричных элементов теории Гейзенберга, Борна и
Иордана. Прежде всего, Шредингер обобщил свои результаты на системы
многих частиц и на силы, описываемые векторным потенциалом, используя в
случае необходимости вместо прямоугольных координат обобщенные координаты
qu q2, ..., qa. В этом случае волновая функция будет определена в
абстрактном многомерном конфигурационном пространстве q. Существенная
особенность построения квантовомеханических матриц состоит в том, что
правила вычисления, которые по Борну, Гейзенбергу и Иордану должны
выполняться для функций 2п величин qly q2, ..., qn\ Pi, рп, полностью
соответствуют правилам, применяе-
мым в обыкновенном анализе для вычисления линейных дифференциальных
операторов от п переменных q2, ..., qn. Соответствие устанавливается
следующим образом: в классической функции все рг заменяются на оператор
d/dqr. Действительно, оператор d/dqr коммутирует с d/dqs для
произвольного s, а с qs коммутирует только при условии вфг. Оператор,
полученный
Переломные годы
43
для случая s=r коммутацией и вычитанием
JL _ А.
dqrqr Чг ддг '
действуя на произвольную функцию q, воспроизводит ее и потому является
тождественным оператором. Используя полную ортонормированную систему
собственных функций u^q), u2(q),... в пространстве переменных q с весовой
функцией р(^г), мы получаем для матричных элементов квантовой механики
Борна, Гейзенберга и Иордана формулу
Fjk = 5 и* (я) [Fuk (?)] q (q) dq.
Исследования Шредингера прояснили также отношение квантовой механики к
классической: оказалось, что квантовая механика представляет обобщение
классической механики в том же смысле, в каком физическая оптика есть
обобщение геометрической оптики. Для решения задач атомной физики,
следовательно, сразу стала применяться целая отрасль математики - теория
