Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Возникает вопрос: возможно ли оно? Ведь система подвергается различным возмущениям, т.е. более точно ее поведение описывается уравнением
~ = L(u) + е/, ы(0) = U0 + tv0,
где е/ и Zv0 — малые возмущения. Судьба стационарного состояния существенно зависит от того, приведет ли наличие возмущений к столь же малому возмущению решения или следствием будет уход системы из состояния и0. В последнем случае представляет интерес
204
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
и темп ухода, т.е. оценка времени, на котором разница между и0 и u(t) будет достаточно мала.
Исследование таких вопросов начинается обычно в линейном приближении. Уравнение линеаризуется, и для возмущения zv(t) получаем линейную краевую задачу:
Jf = Lu(Uo) v + /> V(O)=V0.
Здесь Lu(U0) — производная оператора L(u) в точке и0. Она вычисляется формальным дифференцированием по и входящих в L(u) членов. Отметим, что коэффициенты Lu(U0) не зависят от времени. Следовательно, при / = 0 решение можно найти методом Фурье:
v(0 = E ckehtVv к.
где % — собственные функции оператора Lu(U0), Xk — соответствующие собственные значения, ск — коэффициенты Фурье функции V0.
Суждение об устойчивости состояния и0 зависит от крайней правой точки спектра. (Наличие / не вносит существенных корректив, так как в этом случае решение ищется методом вариации произвольных постоянных и имеет тот же качественный характер, что и решение при / = 0.) Подчеркнем, что спектр задачи существенно зависит от исследуемой стационарной точки и0. Исследования подобного рода в настоящее время активно проводятся в таких областях, как гидро- и газодинамика, физика плазмы. В последнем случае особенно важными являются исследования некоторых состояний плазмы в установках типа токамак, стелларатор и других, в которых физики надеются получить управляемую термоядерную реакцию.
Обычно исследования подобного рода составляют лишь начальный этап. Обнаружив неустойчивость исследуемого состояния, переходят к следующему этапу. Неустойчивость приводит к быстрому росту малого возмущения, и через короткое время уже нельзя пользоваться линеаризованной теорией: нужно переходить к решению полных эволюционных уравнений. Линейная теория дает в этом случае достаточно разумные начальные данные. На линейной стадии развития процесса неустойчивости из очень малого случайного возмущения ev0 естественно выделяется наиболее быстро растущая компонента (именно ее определяет решение главной спектральной задачи). В первую очередь нужно рассмотреть последствия конечного возмущения именно той формы, которая соответствует главной собственной функции.
Конечно, возможности численных методов решения эволюционного нелинейного уравнения ограничены. Для их успешного применения необходима достаточная гладкость начальных данных v0. В противном случае требуется слишком мелкий шаг сетки, и прове-
ГЛАВНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
205
дение расчетов может оказаться даже невозможным. К счастью, в большинстве случаев ситуация благоприятная: главная собственная функция оказывается достаточно гладкой, имеющей небольшое число нулей. (В многомерном случае вместо числа нулей следует говорить о числе подобластей, в которых функция сохраняет знак.)
Расчет нестационарных процессов в ядерном реакторе. В настоящее время наиболее освоенной (с вычислительной точки зрения) задачей математической теории ядерных реакторов является расчет стационарного состояния, т.е. решение главной спектральной задачи. Однако все более актуальным становится расчет динамических процессов, происходящих в реакторе при изменении внешних условий его работы, например при изменении положений регулирующих стержней.
По существу речь идет о расчете процессов перехода реактора в новое стационарное состояние, хотя, конечно, имеется в виду и математическое моделирование аварийных ситуаций. Задачи подобного рода обычно решаются для упрощенных моделей реактора. В настоящее время разрабатываются методы решения нестационарных задач для столь же развитых и подробных моделей реактора, какие используются для расчета стационарных состояний. Обсудим некоторые вычислительные проблемы, возникающие в таких задачах, и возможные пути их преодоления.
Уравнения нестационарного процесса запишем в форме
8’^=Да)Ф, |^=Л(а)Ф, Ф(0) = Ф°, t 3» 0. (8)
Первое уравнение есть компактная запись системы (2), матрица % — диагональная. Наряду с полями нейтронов Ф — {Ф,, Ф2} (если используется модель с большим числом групп, размерность вектора Ф, соответственно, увеличивается) учитываются еще и поля, описывающие другие физические характеристики состояния реактора.
Для определенности будем считать, что а — скалярная функция, описывающая температуру (именно такая модель изучалась в расчетах, результаты которых иллюстрируют излагаемые здесь подходы), L(a) — дифференциальный оператор, коэффициенты которого D1, Ai j в системе (8) зависят от а. Таким образом, коэффициенты системы (8) зависят от пространственных координат и t явно и неявно — через зависимость от а. В коэффициенты может входить явная зависимость от t, если рассматриваются, например, процессы регулирования положения стержней.
