Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 23
O(L)). Она направлена вправо в области /> 0 и влево в области / < 0. За короткое время 0(L~') система из точки (х0, >>0) переходит в малую 0(L-1)-окрестность Г. В этой окрестности х = 0(1), ^ = O(I) (так как / = 0(L-1)) и здесь осуществляется медленное движение фазового вектора (х(0> y(t)) вверх или вниз вдоль Г в зависимости от знака <р.
В зависимости от «знака» f х на многообразии Г выделяются устойчивые и неустойчивые ветви. На рис. 23 устойчивые участки — это (А, В), (С, D), (Е, F), неустойчивые — (В, С), (D, Е). В окрестности последних система не является жесткой, так как спектр fx(x, у)
216
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
не является «отрицательным», появляются собственные значения с положительной действительной частью. Наиболее интересные явления происходят в окрестности точки В (или D), когда теряется устойчивость, т.е. в окрестности В одно из собственных чисел fx(x, у) переходит в правую полуплоскость. При этом траектория в режиме «внутреннего слоя» за время 0(L-1) переходит в точку В*.
В зависимости от знака ф на (С, D) траектория либо со скоростью O(I) поднимается вверх до D, после чего быстро (за время порядка 0(L-1)) переходит на устойчивую ветвь Г, либо спускается в точку Сив режиме пограничного слоя переходит в точку А, и т.д. При изображении графика траектории {x(t), у(0) получаем картину, в которой участки медленного движения сменяются быстрыми «скачками» с одного уровня на другой, траектория воспринимается почти как разрывная (рис. 24). Такие же «внутренние слои», разделенные длительными (порядка O(T)) промежутками спокойной эволюции, наблюдаются на траекториях уравнений химической кинетики и других аналогичных систем.
Численное интегрирование сингулярно-возмущенной системы с большим шагом. Согласимся, что при численном решении системы (12) с шагом т<*:1 и тЬ»1 (например, хL порядка
IO3, IO6 и т.д.) допустимо лишь качественное воспроизведение слоев. Длительность численного слоя может быть порядка О(т), что
намного больше его действительной длительности порядка Lr1. Структуру же слоя численное решение совсем не описывает. Однако важно, чтобы участки медленного движения точки х(/) были воспроизведены достаточно аккуратно. Таким образом, при численном интегрировании жестких систем используется обычное представление о близости приближенного и точного решений при всех t, за исключением малых (порядка О(т)) окрестностей слоев.
Посмотрим, что дает использование неявной схемы Эйлера:
= Lf(xn+l, yn+l), = Ф(х„+1, уя+1). (14)
Рассмотрим характерные ситуации.
Начало расчета (первый шаг), п = 0. Точка (х0, у0) находится «далеко» от Г, точка (X1, у,) находится из системы уравнений
/(х, у) --^(х- х0) ==0, у - у0 - Т<р(х, у) = 0. (15)
О (С1) O(Cx) О (С1) 1
Рис. 24
ЖЕСТКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
217
Первое уравнение определяет /-мерное многообразие Г*, являющееся (в силу того, что 1/Lt<k1) слабым возмущением многообразия Г. Точнее, ограничиваясь невырожденными ситуациями, можно утверждать, что точки Г* находятся в О(1/?т)-окрестности Г. Второе уравнение определяет /-мерное многообразие, расположенное в О(т)-окрестности гиперплоскости у — у0 = 0 (рис. 25). Согласно асимптотической теории уравнения (12) первое приближение (имеющее погрешность 0(L-1)) к траектории на интервале пограничного слоя [О =S t < 0(L-1)] определяется системой уравнений
к = Lf (х, у), у = 0, х(0) = х0, у(0) = у0. (16)
Правая граница пограничного слоя определяется выходом траектории, движущейся в O(Zr1)-OKpeCTHOCTH гиперплоскости у = >'0, в
0(L~1)-окрестность Г.
Таким образом, учитывая условность термина «правая граница пограничного слоя», мы все же можем утверждать, что за время
0(L-1) траектория (12) из точки
Ч , У“Я.-ТЧ>(*,У)
(х0, у0) попадает в OyL ^-окрестность корня системы уравнений /(х, у0)=0. Таких корней может быть много. Траектория же «выберет» из них один, который мы условно назовем первым. Вышеприведенные несложные оценки показывают, что в общем (невырожденном) случае среди корней системы (15) имеется корень, находящийся в 0(т)-окрестности первого («истинного») корня и, тем самым, в 0(т)-окрестности точки (х(Ґ), y(t')), где Ґ = 0(L_I) — правая граница пограничного слоя. И если используемый метод решения системы (15) (а это обычно метод Ньютона) даст именно нужный корень, с принятой здесь точки зрения результат нас вполне удовлетворит.
Ho система (15) может иметь и другие корни, в том числе на неустойчивой части Г. Здесь мы сталкиваемся с потенциальной опасностью, возникающей при прохождении пограничного слоя «за один большой шаг». Наряду с «правильным» решением (*1» .Vi) (см. рис. 25), не исключена возможность получить принципиально неверные значения (X1', yf), (X1", у") и т.д., после чего даже точное интегрирование системы даст совершенно неверный результат. Особенно опасными являются корни на неустойчивых ветвях многообразия Г.
(X1, у,)
218
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
В связи с вышесказанным становится понятным стремление специалистов, занимающихся численным решением жестких систем, интегрировать пограничные слои с малым шагом т’Ц/^Ц^ I. В этом случае поведение численной траектории достаточно аккуратно воспроизводит поведение точной и, затратив определенное машинное время, мы попадем в окрестность именно того решения (х,, ^1), которое нужно. Однако с такой тактикой связана своя проблема: распознавание «начала» режима типа «слой» и его «конца». Шаг т* настолько мал, что преждевременный переход на этот шаг, так же как и запоздалый переход на большой шаг после того, как слой пройден, приводит к расходу машинного времени, часто недопустимому. Конечно, в самом начале расчета следует использовать малый шаг т*: прак"ически любая траектория жесткой системы начинается пограничном слоем. Ho в дальнейшем заранее неизвестно, когда произойдет очередной скачок. Часто шаг т так велик, что схема проскакивает очередной слой за один шаг со всеми вытекающими отсюда последствиями.
