Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Простой выход — обнаружив скачок от (хп, уп) к (х„+1, _у„+і) (а он, очевидно, легко обнаруживается по большому изменению-переменных за шаг), вернуться назад и интегрировать от точки (хп,
у ) с малым шагом т* — едва ли может считаться удовлетворительным по причинам, указанным выше. Он может привести к огромному перерасходу машинного времени на чрезмерно точное вычисление траектории задолго до того, как в этом возникает действительная необходимость. Более разумная с практической точки зрения тактика состоит в том, что, если при шаге т получено большое изменение фазовых переменных, следует вернуться назад, уменьшив шаг всего, скажем, в три раза; в дальнейшем можно поступать таким же образом. Аналогичную проблему представляет переход от малого шага в области слоя к очень большому после выхода траектории из этой области.
Заметим, что проводящиеся иногда «состязания» методов численного интегрирования жестких систем (какой из них быстрее решит ту или иную задачу-тест) являются не столько соревнованием вычислительных формул, сколько соревнованием алгоритмов регулирования шага. Выигрывают те алгоритмы, которые позже других переходят на малый шаг т* и раньше возвращаются к большому после прохождения пограничного слоя. К сожалению, задачи-тесты, на которых проводятся подобные состязания, обычно не содержат указанных нами опасностей — других, лишних ветвей многообразия Г. В этом случае излишняя «лихость» оказывается безнаказанной. Видимо, можно сконструировать хорошую задачу-тест, взяв какую-либо хорошо изученную сингулярно-возмущенную систему и «замаскировав» ее какой-то гладкой заменой переменных.
ЖЕСТКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
219
Расчет в окрестности Г. Пусть точка (хп, уп) находится в маг лой окрестности Г, т.е. в области |тLf (х, у) | ^ | х|. (Это естественное условие аккуратного интегрирования: х мало меняется за один шаг.) Тогда система уравнений неявной схемы (15) имеет решением пересечение многообразий Г* (слабое 0(1/х?)-возмущение Г) и 7*:
(X, у) є 7* = У - Уп - т фО’ у) = 0
(слабое 0(т)- возмущение прямой у= уп). Среди таких точек есть точка, находящаяся на расстоянии 0(т) от точки (хп, уп). Поскольку именно последняя берется в качестве начального приближения в том или ином итерационном методе решения (15), естественно ожидать, что именно близкое к (х„, уп) решение будет получено. Остальные корни (15) лежат существенно дальше, и вероятность получить их хотя и существует, но, видимо, в большинстве случаев очень мала.
Что касается точности (в обычном смысле слова) воспроизведения численным решением эволюции системы (12) в окрестности Г, то и здесь ситуация достаточно благополучна. В самом деле, асимптотическая теория решений сингулярно-возмущенной системы (12) приводит к следующему. В первом приближении (с точностью до 0(L-1)) траектория системы (12) совпадает с траекторией вырожденной системы
j=9(x, У), f(x,y)=0, т.е. (х, у) Є Г. (17)
Используя неявную схему, мы в сущности интегрируем почти такую же систему. Единственное отличие состоит в том, что вместо /(х, у) = 0 используется условие /(х, у) — (х — хп)/хL = 0, т.е., поскольку х„+j — хп = О(х), численная траектория отходит от Г на O(HxL), что укладывается в точность первого приближения системы (17).
Расчет в точке «срыва в режим внутреннего слоя». Это один из наиболее сложных моментов в «жизни» траектории жесткой системы, и здесь мы ограничимся простейшим случаем, коща х и у — скаляры. В этом случае рис. 23 дает представление о поведении траектории. Итак, предположим, что точка (хп, уп) совпадает с «последней» точкой В на устойчивой ветви многообразия Г или очень близка к ней, например находится в 0(1/тЬ)-окрестности точки В. Из дальнейшего станет ясно, в какой смысле можно ослабить это предположение, т.е. расширить окрестность В, в которой может находиться точка (х„, уп), с тем чтобы сохранился основной вывод — система (15) не имеет решений в малой окрестности В и точка (хп+1, уп+1) должна совершить большой скачок на другую ветвь Г.
220
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Решение системы типа (15) есть пересечение линии Г*, лежащей в O(HxL)-окрестности Г, и линии у — уп — х ф(л;, у) = 0 (0(х)-возмущение прямой у = уп). До попадания в точку В система двигалась по крайней левой ветви Г* вверх, т.е. на этой ветви > 0. В общем случае нет никаких оснований ожидать обращения ф в нуль в окрестности В, т.е. <р(хп, уп) = а > 0. Существенно то, что ах» 1/xL. Если (р удовлетворяет условию Липшица по х с постоянной С, то легко показать, что линия у—уп — тф(х, у) = 0 находится внутри узкого конуса с вершиной в точке (хп, уп + та) и с раствором Cx (этот конус показан на рис. 25).
В конечной окрестности точки В линия Г* лежит в области у < уп 4- 0(l/xL); следовательно, линия Г* (вернее, та ее ветвь, которая проходит через точку (хп, уп)) не пересекается с конусом на расстоянии а/С. Итак, точка (*„+,, .уп+1) может быть найдена лишь на конечном (существенно большем т) расстоянии от (хп, уп). Конечно, можно надеяться, что это будет точка В*, ближайшая к В, в малую окрестность которой попала бы и траектория системы, но нельзя игнорировать опасности попадания в точки В', В", ..., что привело бы к конечной погрешности и, быть может, к принципиально недоступной (для траектории, начинающейся из точки (х0, у0)) области изменения фазовых переменных.
