Теория катастроф - Арнольд В.И.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка):
71В линейном симилектическом пространстве можсо ввести структуру симплектического многообразия, определив кососкалярное произведение приложенных в любой точке векторов как кососкалярное произведение векторов, полученных из них параллельным переносом в начало. Легко проверить,что условие согласования здесь выполнен о.
Существует много неизоморфаых друг другу римапо-вых структур в окрестности точки плоскости или пространства большего числа измерений (для различения их Риман и ввел свою кривизну).
В отличие от римановых многообразий все симплекти-ческие многообразия фиксированной размерности в окрестности каждой своей точки изоморфны (отображаются друг на друга с сохранением «площадей»). Таким образом, локально каждое симплектическое многообразие изоморфно стандартному симплектическому линейному пространству. В таком пространстве можно ввести координаты . . ., рп, ^1,. . ., qn) так, что кососкалярное произведение равно сумме ориентированных площадей проекций на плоскости (ри дг), . . ., (рп, qn).
Подмногообразие симплектического пространства называется лагранжевым многообразием, если его касательная плоскость в каждой точке лагранжева.
Расслоение симплектического пространства на подмногообразия называется лагранжевым расслоением, если слои лагранжевы.
Всякое лагранжево расслоение локально изоморфно стандартному расслоению фазового пространства над конфигурационным, (p,q)*->-q (слои — пространства импульсов, q — const). Конфигурационное ^-пространство называется базой этого расслоения.
Предположим теперь, что в пространстве лагранжева расслоения дано еще одно лагранжево многообразие. Тогда возникает гладкое отображение этого лагранжева многообразия на базу лагранжева расслоения (т. е. на конфигурационное пространство с координатами qt): каждой точке (р, q) лагранжева многообразия сопоставляется точка q конфигурационного пространства.
Полученное отображение многообразий одинаковой размерности п называется лагранжевым отображениемt а его особенности — лагранжевыми особенностями.
Это — специальный класс особенностей гладких отображений многообразий одинаковой размерности. Для этого класса построена классификационная теориях аналогичная общей теории особенностей.
72При п = 2 лагранжевы особенности общего положения исчерпываются складками и сборками, как и общие особенности (впрочем, лагранжева сборка имеет два лаг-ранжево неэквивалентных *) варианта).
Особенности лагранжевых отображений трехмерных лагранжевых многообразий общего положения уже не все встречаются среди обычных особенностей общего положения.
Теперь мы покажем, что градиентныег нормальные и гауссовы особенности лагранжевы.
1. Пусть F — гладкая функция от р. Тогда многообразие q = dF/dp лагранжево. Поэтому особенности градиентного отображения лагранжевы.
2. Рассмотрим гладкое подмногообразие в евклидовом пространстве. Рассмотрим множество всех перпендикулярных ему векторов (во всех его точках q). Многообразие, образованное векторами р, приложенными в точках р jT q, лагранжево. Нормальное отображение можно рассматривать как лагранжево отображение этого многообразия на базу, (р, р + q) ^ (р + q).
3. Рассмотрим многообразие всех ориентированных прямых в евклидовом пространстве. Это многообразие снмплектическое, так как его можно рассматривать как фазовое пространство движения точки по сфере (направление прямой определяет точку на сфере, а точка пересечения прямой с перпендикулярной ей касательной плоскостью сферы — величину импульса).
Рассмотрим многообразие ориентированных нормалей к поверхности в нашем пространстве. Это подмногообразие в симплектическом многообразии прямых лагранжево. Гауссово отображение можно рассматривать как лагранжево отображение (отображение проектирования построенного подмногообразия на сферу, являющуюся базой лагранжева расслоения фазового пространства).
Таким образом, теории градиентных, нормальных и гауссовых особенностей сводятся к теории лагравкчгвых особенностей.
Встретившаяся нам в конце симплектическая структура многообразия ориентированных прямых — не столь искусственное образование, как это кажется на первый
*) Лагранжева эквивалентность двух лагранжевых особенностей — это отображение первого лагранжева расслоения на второе, переводящее первую симплектическую структуру во вторую и первое лагранжево подмногообразие во второе.
73взгляд. Дело в том, что множество решений любой вариационной задачи (или вообще множество решений уравнений Гамильтона с фиксированным значением функции Гамильтона) образует симплектическое многообразие, очень полезное для исследования свойств решений.
Рассмотрим, например, двухпараметрическое семейство лучей, срывающихся с геодезических на поверхности препятствия в трехмерном пространстве, как это указано на рис. 72, Это семейство оказывается двухмерным лаг-ранжевым подмногообразием четырехмерного пространства всех лучей. Но в отличие от ранее встречавшихся нам лагранжевых подмногообразий это лагранжево многообразие само имеет особенности. Особенности эти проявляются там, где срывающийся луч — асимптотический для поверхности препятствия. Такие лучи образуют ребро возврата (типа х2 = у3) лагранжева многообразия срывающихся лучей.