Теория катастроф - Арнольд В.И.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка):
На этом ребре возврата есть еще особые точки, в окрестности которых многообразие срывающихся лучей устроено как раскрытый ласточкин хвост (поверхность в четырехмерном пространстве многочленов хь + ах3 -f- Ьх2 + + сх -f- d, образованная многочленами с трехкратными корнями).
Эта поверхность встречается также в других задачах теории особенностей (например, при исследовании заметания каустики ребрами возврата движущихся волновых фронтов) и является, видимо, одним из основных примеров будущей теории лагранжевых многообразий с особенностями.
В евклидовой и в римановой геометрии имеется обширная теория внешней кривизны: кроме внутренних свойств подмногообразия, определяемых его метрикой, имеются еще различия в расположении подмногообразий с одинаковыми внутренними геометриями в объемлющем пространстве,
В симплектической геометрии, как недавно доказал А. Б, Гивенталь, дело обстоит проще: внутренняя геометрия (сужение симплектической структуры на множество касательных векторов к подмногообразию) определяет внешнюю. Иными словамй, подмногообразия с одинаковой внутренней геометрией локально переводятся друг в друга сохраняющим симплектическую структуру диффеоморфизмом объемлющего пространства.
Здесь открывается новая глава теории особенностей — исследование особенностей расположения подмногообра-
74 зий в симплектическом пространстве, на важность которого обратил внимание Р. Мельроз в недавних работах по дифракции. Начало классификации таких особенностей получается, по теореме Гивенталя, из результатов Ж, Мартине и его последователей о вырождениях симп-лектической структуры. Например, двухмерное подмногообразие общего положения в четырехмерном симплектическом пространстве локально приводится сохраняющим симплектическую структуру преобразованием к одной из двух нормальных форм:
Pi = 4-і = 0 или іJ1 = 0, р2 = р\.
На нечетномерных многообразиях не бывает симплек-тических структур, но зато бывают контактные. Контактная геометрия играет для оптики и теории распространения волн такую же роль, как симплектнческая для механики.
Контактная структура на нечетномерном многообразии определяется выбором в касательном пространстве в каждой точке гиперплоскости (подпространства коразмерности один). Два поля гиперплоскостей на многообразии фиксированной размерности локально эквивалентны (переводятся друг в друга диффеоморфизмом), если только оба они общего положения вблизи изучаемых точек.
Контактной структурой называется поле гиперплоскостей, являющееся полем общего положения вблизи каждой точки нечетномерного многообразия.
Контактным является многообразие всех линейных элементов на плоскости. Оно трехмерно. Контактная структура задается так: скорость движения элемента принадлежит (гипер)плоскости поля, если скорость движения точки приложения принадлежит элементу. Точно так же определяется контактная структура в 2п — 1-мерном многообразии элементов гиперплоскостей на любом /г-мерном многообразии.
Роль лагранжевых многообразий в контактном случае переходит к лежандровым (интегральным подмногообразиям поля гиперплоскостей наибольшей возможной размерности, т. е. размерности т в контактном многообразии размерности 2т + 1).
Особенности волновых фронтов^ преобразований Jle-жандра, а также гиперповерхностей, двойственных к гладким,— это лежандровы особенности. Вся симплектнческая теория (включая, например, теорему Гивенталя) имеет контактные аналогиг чрезвычайно по-
75 лезвые для исследования особенностей в вариационных задачах.
Распространение волн в сплошных средах описывается световой гиперповерхностью в контактном пространстве (называемой также «дисперсионным соотношением» или «многообразием нулей главного символа» в пространстве контактных элементов пространства-времени).
Для волн, описываемых вариационными принципами с гиперболическими уравнениями Эйлера — Лагранжа, указанная гиперповерхность, вообще говоря, имеет особенности.
Многообразие особенностей световой гиперповерхности типичной вариационной системы имеет коразмерность В в контактном пространстве. На трансверсальном к многообразию особенностей трехмерном пространстве световая гиперповерхность оставляет след, диффеоморфный квадратичному конусу u2 + v2 = w2.
Особенности световых лучей и волновых фронтов определяются расположением световой гиперповерхности по отношению к контактной структуре (лучи — это проекции ее характеристик, а фропты — ее лежандровых многообразий). Анализ типичных расположений обнаруживает своеобразное явление внутреннего рассеяния волн на неоднородностях среды.
Обычно волны разных типов (скажем, продольные и поперечные) распространяются внутри среды независимо и лишь на границе могут порождать друг друга. Здесь же трансформация волн осуществляется во внутренних точках среды. Например, при распространении волн
в одномерной нестационарной, неоднородной среде рассеяние
ни ем первого порядка. Касающиеся характеристики — это 1 4 и 2 3. На типичном волновом фронте, движущемся в трехмерном пространстве, трансформация волн происходит в отдельных изолированных точках.
