Теория катастроф - Арнольд В.И.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка):
Это отображение называется нормальным отображением исходного многообразия. Особенности нормальных отображений подмногообразий общего положения составляют специальный класс особенностей отображений пространств одинаковой размерности. Критические значения нормального отображения образуют каустику (геометрическое место центров кривизны) исходного подмногообразия: см. рис. 33, где исходное многообразие — эллипс.
3. Гауссово отображение. Рассмотрим двустороннюю поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Перенесем единичные векторы положительных нормалей из каждой точки поверхности в начало координат. Концы этих векторов лежат на единичной сфере. Полученное отображение поверхности на сферу называется гауссовым отображением.
Гауссовы отображения составляют еще один специальный класс отображений многообразий одинаковой размерности (п — 1, если начинать с гиперповерхности в n-мерном пространстве).
69 И вот оказывается, что типичные особенности отображений всех этих трех классов (градиентных, нормальных и гауссовых) одинаковы: все три теории — частные случаи общей теории лагранжевых особенностей в симплек-тической геометрии.
Симплектическая геометрия — это геометрия фазового пространства (пространства координат и импульсов классической механики). Она явилась итогом длительного развития механики, вариационного исчисления п т. д.
В прошлом веке эту область геометрии называли аналитической динамикой, и Лагранж гордился, что изгнал из нее чертежи. Чтобы проникнуть в симплектическую геометрию, минуя длинный исторический путь, проще всего воспользоваться аксиоматическим методом, имеющим, как заметил Б. Рассел, много преимуществ, подобных преимуществам воровства перед честным трудом.
Сущность этого метода состоит в том, чтобы превращать теоремы в определения. Содержательная часть теоремы становится тогда мотивировкой определения, и алгебраисты ради повышения авторитета своей науки ее обычно опускают (понять немотивированное определение невозможно, но многие ли из пассажиров самолета знают, как и почему он изготовлен?).
Теорема Пифагора, бывшая в свое время высшим достижением математической культуры, низведена в современном аксиоматическом изложении евклидовой геомет* рии до малозаметного определения: евклидовой структуро$ в линейном пространстве называется линейная по каждо му аргументу симметрическая функция пары векторов (іскалярное произведение), для которой скалярный квадрат любого ненулевого вектора положителен.
Определение симплектической структуры в линейном пространстве аналогично: это линейная по каждому ар гументу кососимметрическая функция пары векторов {ко соскалярное произведение), которая невырождена (любо ненулевой вектор не всем векторам косоортогонален^ т. в его кососкалярное произведение с некоторыми векторами ненулевое).
Пример. Назовем кососкалярным произведениь-двух векторов на ориентированной плоскости ориентй« рованную площадь параллелограмма, натянутого на эти векторы (т. е. определитель матрицы, составленной И компонент векторов). Это произведение — симплекти ческая структура на плоскости,
70 В трехмерном пространстве (и вообще в нечетномерном пространстве) симплектических структур нет. Симплекти-ческую структуру в четырехмерном (и вообще в четномер-ком) пространстве легко построить, представив пространство в виде суммы двухмерных плоскостей: кососкаляр-ное произведение распадается в сумму площадей проекций на эти плоскости.
Все симплектические пространства фиксированной размерности изоморфны (как и все евклидовы). Мы будем называть кососкалярное произведение двух векторов «площадью» натянутого на них параллелограмма.
Каждое линейное пространство в евклидовом пространстве имеет ортогональное дополнение, его размерность равна коразмерности исходного подпространства.
В симплектическом пространстве определено коеоорто-гоналъное дополнение к линейному подпространству, оно состоит из всех векторов, кососкалярные произведения которых со всеми векторами подпространства равны нулю. Размерность косоортогонального дополнения также равна коразмерности исходного подпространства. Например, косоортогональное дополнение к прямой на плоскости — сама эта прямая.
Линейное подпространство, являющееся своим собственным косоортогональным дополнением, называется лаг-ранжевым подпространством. Его размерность равна половине размерности исходного симплектического пространства,
Риманова структура на многообразии задается выбором евклидовой структуры в пространстве^ касательном к многообразию в любой точке.
Точно так же симплектическая структура на многообразии задается выбором симплектической структуры в каждом его касательном пространстве; однако в отличие от риманова случая эти структуры не произвольны, а связаны между собой, как это объяснено ниже.
Риманова структура на многообразии позволяет измерять длины кривых на нем, суммируя длины малых векторов, составляющих кривую. Точно так же симплектическая структура позволяет измерять «площади» ориентированных двухмерных поверхностей, лежащих в симплектическом многообразии (суммируя «площади» составляющих поверхность малых параллелограммов). Дополнительное условие, связывающее симплектические структуры в разных касательных пространствах, таково: «площадь» всей границы любой трехмерной фигуры равна О,
