Теория катастроф - Арнольд В.И.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка):
Когда с совершает полный оборот вокруг нуля, отрезок между точками ветвления совершает пол-оборота, в результате чего мы возвращаемся к прежним (хотя и переставившимся) точкам ветвления. Непрерывно отождествляя между собой возникающие по дороге поверхности (так, чтобы точки краев оставались все время близкими к своему исходному положению), мы получим в конце концов отображение цилиндра на себя (монодромию^ устроенное следующим образом.
Отрезок образующей цилиндра, обозначенный на рисунке 79, 1 буквой у, в процессе отождествления переходит в кривые, обозначенные этой же буквой на промежуточных поверхностях (2, 3, 4). В конце концов мы возвращаемся к исходному цилиндру (5), но кривая у переходит в новую кривую с теми же концами. Легко сообразить,; что на поверхности цилиндра эта новая кривая делаег один полный оборот вдоль направляющей окружности* как и изображено на рис. 76.
Таким образом, монодромия перекручивает цилиндри ческую часть комплексной линии уровня функции, расположенную вблизи критической точки., ровно на один це-
84 лый оборот. Исчезающий цикл при таком перекручивании переходит в себя (повернувшись на jt). Другие же циклы на линии уровня преобразуются в, вообще говоря, новые циклы. А именно, всякий раз, когда какой-либо цикл проходил вдоль образующей нашего цилиндра (т. е. пересекал исчезающий цикл), перекручивание изменяет проходящий цикл на исчезающий, так что (с точностью до
Рис. 79. Построение монодромии последовательным отождествлением близких рпмановых поверхностей
непрерывных деформаций) образ проходящего цикла при монодромии получается из проходящего цикла добавлением столько раз взятого исчезающего цикла, сколько раз проходящий цикл (с учетом знаков) пересекал исчезающий. Если это число равно нулю, то проходящий цикл называется ортогональным исчезающему. Такой цикл при монодромии не меняется.
Мы вывели, таким образом (для функций двух переменных), «формулу Пикара — Лефшеца», основную в комплексной теории критических точек функций. При переходе к функциям любого числа п переменнщх исчезающий цикл становится сферой размерности п — 1, а цилиндр — множеством всех его касательных векторов. Если число переменных п нечетно, то монодромия действует на классы циклов как отражение в зеркале, ортогональном исчезающему циклу (сам он при монодромии меняет знак).
Сложные критические точки функций при общих малых шевелениях распадаются на простейшие. В результате общего малого шевеления возникает несколько крити-
85 чесних значений и около каждого из них — по исчезающему циклу. Обход каждого из критических значений определяет преобразование монодромии. Подход от некритического исходного значения к каждому критическому значению по некритическому пути переносит исчезающий цикл в многообразие исходного неособого уровня пошевеленной функции. В результате там возникает целый набор исчезающих циклов.
Например, неособая комплексная линия уровня функции X3 + у2 — это тор без одной точки. Малое шевеление — ex + у2 имеет два критических значения (рис. 80),
Подход к ним от некритической комплексной линии уровня определяет на этом торе два исчезающих цикла: параллель и меридиан тора. Точно так же на поверхности уровня функции X? + у2 + Z2 лежат две исчезающих сферы, пересекающиеся в одной точке. Соответствующие им преобразования монодромии — отражения пространства классов циклов в ортогональных исчезающим циклам зеркалах.
Таким образом, в теории критических точек функций появляются группы отражений: они составляются преобразованиями монодромии при обходе вокруг критических значений.
Теория групп отражений представляет собой хорошо разработанный отдел математики. Рассмотрим, например« на плоскости два зеркала. Если угол между ними несоизмерим с 2я, то число разных преобразований, полученных комбинированием отражений в этих зеркалах, бесконечно^ а если соизмерим — то конечно. Точно так же
86 в трехмерном пространстве найдены все расположения проходящих через 0 зеркал, порождающие конечное число преобразований; классификация таких расположений известна и при любой размерности пространства.
Вычисление групп монодромий простейших вырожденных критических точек функций вскрыло глубокие С1ІЯЗИ между теориями критических точек функций, каустик и волновых фронтов, с одной стороны, и теорией групп, порожденных отражениями — с другой.
Проявления этой связи иногда выглядят довольно неожиданно. Рассмотрим, например, задачу об обходе препятствия, ограниченного кривой общего положения с обычной точкой перегиба на плоскости. Линии уровня времени в этой задаче — эвольвенты кривой. Эти эвольвенты имеют особенности на кривой (порядка 3/2) и на касательной перегиба (порядка 5/2). Оказывается, перестройкой особенностей эвольвент при прохождении точки перегиба управляет группа симметрий икосаэдра. Отсюда выводится, например, что график функции времени в окрестности точки перегиба гладкой заменой координат приводится к нормальной форме вроде ласточкиного хвоста. А именно, нормальной формой является поверхность многочленов хь + ах1 + Ъх2 + сс кратными корнями (или поверхность касательных к кривой (t, t3, рис. 81, О. В. Ляшко, О. П. Щербак).
