Теория катастроф - Арнольд В.И.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка):
57 Особенности выпуклых оболочек кривых и поверхностей общего положения в трехмерном пространстве исследованы В. Д. Седых и В. М. Закалюкиным. В случае кривых с точностью до гладкой замены переменных
MtfW
Рис. 61. Типичные особенности выпуклых оболочек пространственных кривых
оболочка задается в окрестности каждой своей точки одной из шести формул:
Z > О, Z^ \х\, Z^--X\х\, Z ^ min (и4 + хи2 + уи), Z ;> min2 (х, у, 0), {г > min2 (х, у, 0), z + у > 0}
(рис. 61). В случае поверхностей — одной из трех формул Z > 0, Z > X \х |, Z > P2 (х, у),
где р (х, у) — расстояние от точки (х, у) до угла у ^ с \ х\ (рис. 62). Число с>0 является модулем (инвариантом): оболочки, соответствующие разным с, не сводятся одна к другой гладким преобразованием.
Особенности выпуклых оболочек в пространстве большей размерности мало изучены. Согласно В. Д. Седых,
выпуклая оболочка общего ^-мерного многообразия в пространстве размерности выше к-\-2 имеет модули, являющиеся функциями к переменных.
Рпс. 62. Типичные особенности вы- Тень, отбрасывае-пуклых оболочек поверхностей мая бесконечно-гладким
или даже аналитическим выпуклым телом, может, как это ни кажется странным, иметь особенности. А именно, граница тени трехмерного выпуклого тела может иметь разрывы третьей производной, а тела размерности 4 и выше — даже второй (И. А. Еогаевский, 1990).
Много новых интересных особенностей возникает в
58 оптимизационных задачах с ограничениями, например в задаче об обходе препятствия. Их исследование привело к новым результатам в одной из самых классических областей математики — геометрии гладких поверхностей в трехмерном пространстве.
12. ГЛАДКИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ИХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Гладкая кривая на плоскости может иметь касательную со сколь угодно большим числом точек касания (рис. 63), но это не в случае общего положения. Малым шевелением кривой можно добиться того, что никакая прямая не будет касаться ее более чем в двух точках.
В скольких точках может касаться прямой поверхность общего положения? Немного подумав или поэкспериментировав, читатель может убедиться, что наибольшее число точек касания равно четырем; сохраняя гри точки касания, прямую можно двигать, две — двигать в двух направлениях.
Порядок касания прямой с кривой или поверхностью также может быть различным (например, порядок касания оси X с графиком у = х2 первый, х3 — второй и т. д.) Плоская кривая общего положения не имеет касательных выше второго порядка (второй порядок касания встречается в отдельных точках кривой, называемых точками перегиба).
Для поверхности в пространстве дело обстоит уже не так просто. В точках, близ которых поверхность не выпукла, имеются касательные выше первого порядка (они называются асимптотическими касательными). Для поверхности общего положения касательные третьего порядка имеются на некоторой линии, а четвертого — в отдельных точках; касательных выше четвертого порядка общая поверхность не имеет.
Все точки поверхности общего положения делятся по порядкам касательных на следующие 7 классов (рис. 64):
1) область эллиптических точек (все касательные порядка 1);
2) область гиперболических точек (две асимптотические касательные).
Рис. 63. Тройная касательная нетипичной кривой
59 Эти две области разделяет общая граница:
3) линия параболических течек (одна асимптотическая касательная),
Внутри области гиперболичности выделяется особая линия:
4) кривая перегиба асимптотических линий (есть касательная третьего порядка).
Наконец, на этой кривой выделены еще особые точки трех типов:
5) точка двойного перегиба ка ательная четвертого порядка);
Рис. 64. Классификация 6) перегиб обеих асимптоти-точек на гладкой по- ческих линий (две касательные верхности третьего порядка);
7) общие точки линий 3) и 4).
Для поверхностей общего положения в точках 6) происходит пересечение двух ветвей линии перегибов под ненулевым углом, а в точках 7) — касание (первого порядка) линий 3) и 4).
Описанная классификация точек поверхности (О. А. Платонова, Е. Е. Ландис) следующим образом связана с классификацией особенностей волновых фронтов.
Математики называют точками объекты любой природы. Рассмотрим, например, множество всех невертикальных прямых на плоскости (х, у).
Такие прямые задаются уравнениями вида у — ах -f- Ъ. Следовательно, одна прямая определяется парой чисел (а, Ъ) и может рассматриваться как точка плоскости с координатами (а, Ъ). Эта плоскость назывs ется двойственной к исходной плоскости. Ее точки — это прямые исходной плоскости.
Если на исходной плоскости дана гладкая кривая, то в каждой ее точке имеется касательная прямая. При движении точки вдоль кривой касательная меняется, следовательно, движется точка двойственной плоскости. Таким образом, на двойственной плоскости возникает кривая — множество всех касательных исходной кривой. Эта кривая называется двойственной к исходной.
Если исходная кривая гладкая и выпуклая, то двойственная кривая тоже гладкая, если же исходная кривая имеет точку перегиба, то иа двойственной кривой ей соответствует точка возврата (рис. 65),
