Теория катастроф - Арнольд В.И.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка):
Кривые, двойственные к гладким кривым общего IIO-ложения^ имеют такие же особенности как волноьые
60 фронты общего положения па плоскости, и так же перестраиваются при общей гладкой деформации исходной кривой, как перестраивается распространяющийся общим образом по плоскости общий фронт.
Точно так же плоскости в трехмерном пространстве образуют двойственное трехмерное пространство, и ьсе касательные плоскости к гладкой поверхности образуют
двойственную поверхность. Особенности поверхности, двойственной к поверхности общего положения, такие же, как у волнового фронта, т. е. ребра возврата с ласточкиными хвостами.
Линии параболических точек исходной поверхности соответствует на двойственной поверхности ребро возврата. Особые точки на этой линии (где она касается линии перегиба асимптотических) соответствуют ласточкиным хвостам. Линия самопересечения ласточкиного хвоста состоит из двойных касательных плоскостей исходной поверхности. Следовательно, в точке 7) сливаются две точки касания плоскости с исходной поверхностью, чем и заканчивается однопараметрическое семейство двойных касательных плоскостей.
Классы точек на поверхности общего положения проявляются также в виде различных особенностей видимого контура. Если направление проектирования — общего положения, ТО особенности — ЛИШЬ складки И сборКИ( но теореме Уитни. Однако, выбрав направление проектирования специальным образом, можно получить и некоторые не общие проекции поверхности общего положения4 Оказывается, все такие проектирования локально приводятся к проектированиям перечисленных ниже 9 поверхностей Z = / (X1 у) вдоль оси х:
Ai
Рис. 65. Действенность точек перегиба и возврата
61 Тип 1 2 3,4 5
/ X2 X3 -|- ху X3 ± Xt Xя + Xy3
Тип в 7 8,0
/ X1 + ху X1+ X2 У + ХУ2 X5 -(- х3у ± ху
(поверхности проектируются на плоскость, (у, z), приведение осуществляется заменой X (х, у, z), Y (у, z), Z (у, z)).
Видимые контуры, соответствующие этим проекциям,, изображены на рис. 66.
Соответствие между классификацией проектирований и точек на поверхности состоит в следующем. 1 — это проектирование по неасимптотическому направлению (складка Уитни).
Проектирование по асимптотическому направлению в общей точке гиперболической области принадлежит типу 2. Это проектирование имеет особенностью сборку Уитни. При малом шевелении направления проектирования особая точка лишь немного перемещается по поверхности: новое направление оказывается асимптотическим в близкой точке. Таким образом, чтобы увидеть сборку, достаточно взглянуть на общую поверхность по асимптотическому направлению.
При движении поверхности или наблюдателя в отдельные моменты появятся особенности 3, 4 и 6.
Проектирования 6 (и 8 или 9) соответствуют гиперболической области (а именно асимптотическим касательным третьего и четвертого порядков соответственно).
По спине двугорбого верблюда (см. рис. 43) проходит линия перегиба асимптотических. Касательные третьего порядка, приложенные в ее точках, образуют поверхность. Проходя мимо верблюда, мы дважды пересекаем эту поверхность. В момент пересечения видимый контур спины имеет особенность типа у3 = х4, а проектирование — тип 6,
Остальные особенности возникают при проектировании по направлению, асимптотическому в параболической точке. Простейшие из них — особенности 3 и 4. Проектирование 3 реализуется в момент, когда мы, спускаясь с бугра^ начинаем видеть его контур (см. рис. 41). Первая появляющаяся точка контура — параболическая.
12 Ж '
-Пиния перегибов Точка асимптотических SunepesuSa. точек
Рис, 66. Видимые контуры и порядки их особепностей для типичных проектирований --- " п в C © n f — ...... —---
d____J f.' "" ^—, '"jL .. і .- 3VvsA ______
7 -
• %
Рис. 67, Бифуркации проектирований при деформации центра проекции: случаи 10—11, г — X3 ху*
64 Рис. 69. Бифуркации проектирований: случай 13, z = хъ + ху
3 В. И. Арнольд I При прохождении особенности 4 происходит слияние или разделение двух компонент видимого контура.
Особенности 5, 7, 8 и 9 реализуются лишь при изолированных направлениях проектирования, и их нужно специально искать. (8 и 9 — проектирование вдоль касательной четвертого порядка, 7 — вдоль параболической касательной третьего порядка, 5 — точка «параллельности асимптотических в бесконечно близких параболических точках»). При проектированиях из отдельных точек реализуются еще 4 особенности 10—13: z = х3 ± Xyi, z = = Z4 + хгу + ху3, Z = т> + ху (рис. 66—69).
13. ЗАДАЧА ОБ ОБХОДЕ ПРЕПЯТСТВИЯ
Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве препятствие, ограниченное гладкой поверхностью (рис.70). Ясно, что кратчайший путь из г в у в обход препятствия состоит из отрезков прямых и отрезков геодезических
(кратчайших линий) на поверхности препятствия. На геометрию кратчайших путей сильно влияют различные перегибы поверхности препятствия.
Предположим, что начальная точка пути, X, зафиксирована, и рассмотрим кратчайшие пути, ведущие из X во всевозможные ТОЧ-І ки у. Пути в загороженные препятствием точки начинаются с отрезков касающихся препятствия прямых. Продолжения этих путей образуют пучок (однопараметрическое семейство) геодезических на поверхности препятствия. Следующие участки путей представляют собой новые отрезки прямых, касательных к геодезическим; они могут заканчиваться в концевой точке р или снова касаться поверхности препятствия и т. д.
